Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Poderiam corrgir minha solução por favor .Gostaria de sugestões .

Sejam \(F_1, \dots , F_k \subset E\) subespaços vetorias .Prove :

(1) O subespaço gerado pela união F_1 \cup \dots \cup F_k [/tex] é o conjunto \(F_1 + \hdots + F_k\) das somas \(x_1 + \dots + x_k\) ,onde \(x_1 \in F_1 , \dots , x_k \in F_k\) .


Minha solução :

\((a_1)\)

Seja \(M\) o subespaço gerado pela união \(F_1 \cup \dots \cup F_k\) de subespaços de \(E\) .Vamos denotar \(M\) por \(S(F_1 \cup \dots \cup F_k)\) .

Consideremos \(L =\{1,\dots ,k\}\) e \(H\) conjunto de índices quaisquer satisfazendo ,



\(u = \sum_{j\in H} \beta_j z_j \hspace{10mm} \forall u \in M = S\left( \bigcup_{i\in L} F_i\right), \forall z_j \in \bigcup_{i\in L} F_i , \forall \beta_z \in \mathbb{R}\) .

Como \(M:=S(F_1 \cup \dots \cup F_k)\) ,temos que todos seus vetores são combinações lineares dos elementos de \(\bigcup_{i\in L} F_i\) .Em particular , se \(v_1, \dots ,v_k \in M \Rightarrow\exists \alpha_{ij} \in \mathbb{R}\) satisfazendo ,


\(v_{i} = \sum_{j\in H}\alpha_{ij y_{ji} , \hspace{10mm} \forall i \in L , y_{ji} \in \bigcup_{i\in L} F_i\) com \(y_{ji} \in F_i\) .

Pela hipótese de \(M\) e \(F_1, \dots , F_k \subset E\) serem subespaços de \(E\) ,obtemos que

\(\sum_{i\in L} v_i \in M , \alpha_{ij} y_{ji} \in F_i \Rightarrow \sum_{j\in H} \alpha_{ij} y_{ji} \in F_i , \forall i\) .Assim , tomando-se \(v=\sum_{i\in L} v_i\) e \(x_i = \sum_{j\in H} \alpha_{ij y_{ji}\) , por


\(\sum_{i\in L} v_i = \sum_{i\in L} \sum_{j\in H} \alpha_{ij} y_{ji}\) .

Resulta ,


\(v = \sum_{i\in L} x_i = x_1 + \dots + x_k\) com \(x_1 \in F_1 , \dots , x_k \in F_k\) .

Assim , \(M:=S(F_1 \cup \dots \cup F_k) \subset F_1 + \dots + F_k\) .


\((b)\) .

Reciprocamente ,tomando-se \(x_i\) quaisquer em \(F_1 \cup \dots \cup F_k\) com \(x_i \in F_i , \forall i \in L\) ,pela hipótese de \(F_1 \cup \dots \cup F_k\) gerar \(M\) ,resulta que \(\sum_{i\in L} x_i \in M\) .Como estamos trabalhando com vetores genéricos , segue que \(F_1 \cup \dots \cup F_k \subset M\) .Por \((a_1),(b)\) , \(M = F_1 + \dots +F_k\) .


Editado .

Na minha opinião a parte (a) da sua resolução está globalmente certa mas algo confuso. Quanto à parte (b) não faz mais que mostrar que \(F_1\cup\dots\cup F_n\subset M=S(F_1\cup\dots\cup F_n)\) o que por definição de M é verdade.

A maneira como eu faria seria seguir o seguinte esboço:

(a) \(S(F_1\cup\dots\cup F_n)\subset F_1+\cdots + F_n\):

\(F_i\subset F_1+\cdots + F_n\) para todo o \(i=1,\dots ,n\), logo \(F_1\cup\dots\cup F_n\subset F_1+\cdots + F_n\). Mas como \(F_1+\cdots + F_n\) é um espaço linear e \(S(F_1\cup\dots\cup F_n)\) é o menor espaço linear que contem \(F_1\cup\dots\cup F_n\), tem-se que \(S(F_1\cup\dots\cup F_n)\subset F_1+\cdots + F_n\).

(b) \(F_1+\cdots + F_n\subset S(F_1\cup\dots\cup F_n)\):

Sendo qualquer elemento \(x\) de \(F_1+\cdots + F_n\) uma soma do tipo \(x=x_1+\cdots +x_n\) com \(x_1\in F_1,\dots ,x_n\in F_n\) temos que \(x\) é uma combinação linear de elementos de \(F_1\cup\dots\cup F_n\) logo \(x\) está em \(S(F_1\cup\dots\cup F_n)\).

Boa tarde Rui Carpentier . Muito obrigado pela ajuda .