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MensagemEnviado: 11 jan 2015, 20:28 
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Ache os autovalores e os autovetores do operador linear L de P3 definido por L (p) = p’+ p’’


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MensagemEnviado: 12 jan 2015, 15:01 
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Dizemos que \(u \ne 0\) é autovector associado ao autovalor \(\lambda\) se \(L(u) = \lambda u\). Ora, considerando

\(u = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
u' = 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1
u'' = 6 a_3 x + 2 a_2\)

vemos que

\(L(u) = \lambda u \Leftrightarrow 3a_3 x^3 + (6 a_3 + 2 a_2) x + (a_1+2 a_2) = \lambda a_3 x^3 + \lambda a_2 x^2 +\lambda a_1 x + \lambda a_0\)

Para esta última igualdade ser válida para todos os valores de x, é necessário que os coeficientes dos termos do mesmo grau sejam iguais. Obrigando a que isso aconteça verá que só existem 2 alternativas.

1. Se \(\lambda \ne 0\) devemos ter \(a_0=a_1=a_2=a_3 = 0\), o que significaria \(u=0\), pelo que não existe nenhum autovalor não nulo.

2. Se \(\lambda = 0\) devemos ter \(a_3=a_2=a_1 = 0\), mas \(a_0\) pode ser arbitrariamente escolhido.

Concluímos pois que \(\lambda =0\) é auto valor e que o espaço próprio associado é constituídos pelos polinómios constantes.


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