Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 19 mar 2024, 14:58

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 2 mensagens ] 
Autor Mensagem
MensagemEnviado: 03 fev 2015, 05:01 
Offline

Registado: 13 dez 2014, 23:55
Mensagens: 17
Agradeceu: 10 vezes
Foi agradecido: 2 vezes
2. Encontre o núcleo, a imagem, suas dimensões e uma base para a seguinte transformação linear \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)\)


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 03 fev 2015, 15:01 
Offline

Registado: 08 jan 2015, 18:39
Mensagens: 930
Localização: Campo Grande - MS - Brasil
Agradeceu: 14 vezes
Foi agradecido: 475 vezes
Bom dia!

\(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)\)

Núcleo:
\(T(x,y,z)=(0,0)
(x-y+4z, 3x+y+8z)=(0,0)
\left {{x-y+4z=0
3x+y+8z=0}\)

Isolando o x da primeira equação e substituindo na segunda:
\(x=y-4z
3(y-4z)+y+8z=0
3y-12z+y+8z=0
4y=4z
y=z\)

Voltando para a primeira equação o valor de y:
\(x=z-4z
x=-3z\)

Então, para o Núcleo, temos:
\(T(x,y,z)=(0,0)
(x,y,z)=(-3z,z,z)=z(-3,1,1)
Ker(T)= \left { (-3z,z,z) | z \in \mathbb{R} \right }\)

Imagem:
\(T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)
(x-y+4z, 3x+y+8z)=x(1,3)+y(-1,1)+z(4,8)\)

Como (4,8) é combinação linear de (1,3) e (-1,1), assim:
\((4,8)=3(1,3)-1(-1,1)\)

Então, (1,3) e (-1,1) formam uma base para a imagem. Portanto, um gerador para a Imagem é a base:
\(Im(T)=[(1,3),(-1,1)]\)

Então, para a imagem:
\(Im(T)= \left { a(1,3)+b(-1,1) | a, b \in \mathbb{R} \right }\)

Com relação às dimensões:
\(Dim(Ker(T))=1
Dim(Im(T))=2
Dim(\mathbb{R}^3)=3\)

Pelo teorema do Núcleo e Imagem, teremos que ter:
\(Dim(Ker(T))+Dim(Im(T))=Dim(\mathbb{R}^3)\)

Para deixar mais completa a resposta, segue abaixo a matriz de transformação linear de base canônica \(\mathbb{R}^3\) para \(\mathbb{R}^2\)

\(T(x,y,z) = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 4\\
3 & 1 & 8
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 2 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 7 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para: