Calcule e^A, A ∊ M2(R)

[weber520]

Se A = [ 3 1
-1 2]

Calcule e ^ A
Mostre todos os passos por favor!

[josesousa]

Para calcular a exponencial de uma matriz há que lembrar a expansão em série da função exponencial.

\(e^{A}= I+A+\frac{1}{2!}A^2+...+\frac{1}{n!}A^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n\)

Usando a forma de Jordan da matriz A, \(A=PJP^{-1}\), em que P é a matriz dos vetores próprios de A e J a matriz de Jordan correspondente (normalmente uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal, mas nem sempre assim),

\(e^{A}=e^{PJP^{-1}} = I+PJP^{-1}+\frac{1}{2!}(PJP^{-1})^2+...+\frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n=Pe^{J}P^{-1}\)

Ou seja, para calcular a exponencial de uma matriz A, calculo os valores próprios e vetores próprios de A, calculo J, a matriz de Jordan correspondente, e \(e^{A}=Pe^{J}P^{-1}\)

A questão agora é calcular e^{J}.

Quando J é uma matriz diagonal, \(e^{J}\) é basicamente uma matriz diagonal com \(e^(\lambda_i)\) como elementos na diagonal.
Quando não é diagonal, temos a exponencial de blocos de Jordan dentro da matriz (não vou explicar mais aqui porque isto passaria a ser um tratado).

[weber520]

Para calcular a exponencial de uma matriz há que lembrar a expansão em série da função exponencial.

\(e^{A}= I+A+\frac{1}{2!}A^2+...+\frac{1}{n!}A^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n\)

Usando a forma de Jordan da matriz A, \(A=PJP^{-1}\), em que P é a matriz dos vetores próprios de A e J a matriz de Jordan correspondente (normalmente uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal, mas nem sempre assim),

\(e^{A}=e^{PJP^{-1}} = I+PJP^{-1}+\frac{1}{2!}(PJP^{-1})^2+...+\frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n=Pe^{J}P^{-1}\)

Ou seja, para calcular a exponencial de uma matriz A, calculo os valores próprios e vetores próprios de A, calculo J, a matriz de Jordan correspondente, e \(e^{A}=Pe^{J}P^{-1}\)

A questão agora é calcular e^{J}.

Quando J é uma matriz diagonal, \(e^{J}\) é basicamente uma matriz diagonal com \(e^(\lambda_i)\) como elementos na diagonal.
Quando não é diagonal, temos a exponencial de blocos de Jordan dentro da matriz (não vou explicar mais aqui porque isto passaria a ser um tratado).

Como eu faço para que \(e^{A}=Pe^{J}P^{-1}\)?
Eu não entendi como o P e P^-1 deixou de ser expoente e virou constante!

[josesousa]

Dando o exemplo do termo de segunda ordem (mas é facilmente feito para todos os outros)

\(\frac{1}{2!}(PJP^{-1})^2=\frac{1}{2!}PJP^{-1}PJP^{-1}\)
\(=\frac{1}{2!}PJ^2P^{-1}\)
\(=P \left( \frac{1}{2!}J^2\right) P^{-1}\)