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Calcule e^A, A ∊ M2(R) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=7935 |
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Autor: | weber520 [ 04 fev 2015, 19:18 ] |
Título da Pergunta: | Calcule e^A, A ∊ M2(R) |
Se A = [ 3 1 -1 2] Calcule e ^ A Mostre todos os passos por favor! |
Autor: | josesousa [ 06 fev 2015, 14:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Calcule e^A, A ∊ M2(R) |
Para calcular a exponencial de uma matriz há que lembrar a expansão em série da função exponencial. \(e^{A}= I+A+\frac{1}{2!}A^2+...+\frac{1}{n!}A^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n\) Usando a forma de Jordan da matriz A, \(A=PJP^{-1}\), em que P é a matriz dos vetores próprios de A e J a matriz de Jordan correspondente (normalmente uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal, mas nem sempre assim), \(e^{A}=e^{PJP^{-1}} = I+PJP^{-1}+\frac{1}{2!}(PJP^{-1})^2+...+\frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n=Pe^{J}P^{-1}\) Ou seja, para calcular a exponencial de uma matriz A, calculo os valores próprios e vetores próprios de A, calculo J, a matriz de Jordan correspondente, e \(e^{A}=Pe^{J}P^{-1}\) A questão agora é calcular e^{J}. Quando J é uma matriz diagonal, \(e^{J}\) é basicamente uma matriz diagonal com \(e^(\lambda_i)\) como elementos na diagonal. Quando não é diagonal, temos a exponencial de blocos de Jordan dentro da matriz (não vou explicar mais aqui porque isto passaria a ser um tratado). |
Autor: | weber520 [ 07 fev 2015, 01:07 ] |
Título da Pergunta: | Re: Calcule e^A, A ∊ M2(R) |
josesousa Escreveu: Para calcular a exponencial de uma matriz há que lembrar a expansão em série da função exponencial. \(e^{A}= I+A+\frac{1}{2!}A^2+...+\frac{1}{n!}A^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n\) Usando a forma de Jordan da matriz A, \(A=PJP^{-1}\), em que P é a matriz dos vetores próprios de A e J a matriz de Jordan correspondente (normalmente uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal, mas nem sempre assim), \(e^{A}=e^{PJP^{-1}} = I+PJP^{-1}+\frac{1}{2!}(PJP^{-1})^2+...+\frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(PJP^{-1})^n=Pe^{J}P^{-1}\) Ou seja, para calcular a exponencial de uma matriz A, calculo os valores próprios e vetores próprios de A, calculo J, a matriz de Jordan correspondente, e \(e^{A}=Pe^{J}P^{-1}\) A questão agora é calcular e^{J}. Quando J é uma matriz diagonal, \(e^{J}\) é basicamente uma matriz diagonal com \(e^(\lambda_i)\) como elementos na diagonal. Quando não é diagonal, temos a exponencial de blocos de Jordan dentro da matriz (não vou explicar mais aqui porque isto passaria a ser um tratado). Como eu faço para que \(e^{A}=Pe^{J}P^{-1}\)? Eu não entendi como o P e P^-1 deixou de ser expoente e virou constante! |
Autor: | josesousa [ 09 fev 2015, 10:42 ] |
Título da Pergunta: | Re: Calcule e^A, A ∊ M2(R) |
Dando o exemplo do termo de segunda ordem (mas é facilmente feito para todos os outros) \(\frac{1}{2!}(PJP^{-1})^2=\frac{1}{2!}PJP^{-1}PJP^{-1}\) \(=\frac{1}{2!}PJ^2P^{-1}\) \(=P \left( \frac{1}{2!}J^2\right) P^{-1}\) |
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