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Qual o valor real de \(k\) para que o vetor \((k,\,1,\,22)\in \left [ (1,\,1,\,1)\,,\,(0,\,2,\,1) \right ]\), sub-espaço gerado pelos vetores \((1,\,1,\,1)\) e \((0,\,2,\,1)\).

Obrigado

Bom dia!

Para o vetor pertencer ao sub-espaço ele deve ser combinação linear dos vetores deste (L.D).
Então temos:
\(\alpha (1,1,1)+\beta (0,2,1){=}(k,1,22)\\
\left{\alpha\cdot 1+\beta\cdot 0{=}k\text{ (variavel K)}\\
\alpha\cdot 1+\beta\cdot 2{=}1\text{ (I)}\\
\alpha\cdot 1+\beta\cdot 1{=}22\text{ (II)}\)

Resolvendo o sistema linear formado por (I) e (II):
Isolando o alfa da equação (I):
\(\alpha{=}1-2\beta\\\)

Substituindo agora na equação (II):
\((1-2\beta)+\beta{=}22\\
1-\beta{=}22\\
\beta{=}-21\)

Voltando para a equação (I):
\(\alpha{=}1-2(-21)\\
\alpha{=}1+42\\
\alpha{=}43\)

Como a equação que contém a variável K é em função de alfa e beta:
\(\alpha\cdot 1+\beta\cdot 0{=}k\\
k{=}\alpha\\
k{=}43\)

Então, o vetor ficará: \((43,1,22)\)

Espero ter ajudado!

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"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles