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Quais os geradores do núcleo e da imagem da transformação linear \(T(x,y,z)=(x-2y,\,x+2y+z,\,x-2y)\)?


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MensagemEnviado: 02 mai 2015, 14:45 
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Bom dia Estudioso,

O núcleo K, se não me falha a memória, é o conjunto de vetores obtido igualando a T ao vetor nulo:

\((x-2y, x+2y+z, x-2y)=(0,0,0) \\
x-2y=0 \Leftrightarrow x=2y; \\
x+2y+z=0\Leftrightarrow z=-4y; \\\)

Então \(K(T)=\left{ v \in V; T(v} = \vec{0} \right} \Leftrightarrow K(T) = \left{(2y, y, -4y) \right}\)

E a imagem I, é conjunto de vetores obtidos pela aplicação de T a algum vetor, vou usar um genérico(x,y,z), do espaço vetorial, algo assim:

\(w \in I(T) \rightarrow w = T((x,y,z))\) então

\(w=(x-2y, x+2y+z, x-2y) \\
w=x(1,1,1)+y(-2,2,-2)+z(0, -1, 0)\)

Então os vetores \(v_1 = (1,1,1); v_2=(-2,2,-2); v_3(0, -1, 0)\) de \(V\) geram \(w \in T\)

Não sei até onde você precisa ir com esse exercício, mas olhe que os vetores \(v_1;v_2;v_3\) são \(LD\) então talvez seja necessário algum trabalho adicional...

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