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| Transformação Linear - Geradores do Núcleo e da Imagem https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=8636 |
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| Autor: | Estudioso [ 01 mai 2015, 12:40 ] |
| Título da Pergunta: | Transformação Linear - Geradores do Núcleo e da Imagem |
Quais os geradores do núcleo e da imagem da transformação linear \(T(x,y,z)=(x-2y,\,x+2y+z,\,x-2y)\)? |
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| Autor: | Fraol [ 02 mai 2015, 14:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Transformação Linear - Geradores do Núcleo e da Imagem |
Bom dia Estudioso, O núcleo K, se não me falha a memória, é o conjunto de vetores obtido igualando a T ao vetor nulo: \((x-2y, x+2y+z, x-2y)=(0,0,0) \\ x-2y=0 \Leftrightarrow x=2y; \\ x+2y+z=0\Leftrightarrow z=-4y; \\\) Então \(K(T)=\left{ v \in V; T(v} = \vec{0} \right} \Leftrightarrow K(T) = \left{(2y, y, -4y) \right}\) E a imagem I, é conjunto de vetores obtidos pela aplicação de T a algum vetor, vou usar um genérico(x,y,z), do espaço vetorial, algo assim: \(w \in I(T) \rightarrow w = T((x,y,z))\) então \(w=(x-2y, x+2y+z, x-2y) \\ w=x(1,1,1)+y(-2,2,-2)+z(0, -1, 0)\) Então os vetores \(v_1 = (1,1,1); v_2=(-2,2,-2); v_3(0, -1, 0)\) de \(V\) geram \(w \in T\) Não sei até onde você precisa ir com esse exercício, mas olhe que os vetores \(v_1;v_2;v_3\) são \(LD\) então talvez seja necessário algum trabalho adicional... |
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