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Alguém pode me orientar na resolução desse exercício?

Considere a transformação linear \(T\,(x,\,y)=\, (x\,+\,y,\,x\,-\,y)\) e encontre seus autovetores.

Agradecido

Note que,

\(T(x,y) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)\)

A transformação linear é então representada (escolhida uma base) pela matriz anterior. Trata-se agora de determinar autovalores/autovetores dessa matriz.

tomando a matriz:
\(\lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda -1 &1 \\ 1 & \lambda +1 \end{bmatrix}\).

Para o cálculo dos autovalores façamos

\(det\left ( \lambda I-A \right )=0\)

ou seja

\(\begin{vmatrix} \lambda -1&1 \\ 1 & \lambda+1 \end{vmatrix}=0\)

da qual obteremos a equação característica

\(\lambda ^2-2=0\Leftrightarrow \lambda=\pm \sqrt{2}\)

Calculando os autovetores.

para \(\lambda =-\sqrt{2}\)

\(\begin{pmatrix} -\sqrt{2}-1 &1 \\ 1 &-\sqrt{2}+1 \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\)
\(\left\{\begin{matrix} (-\sqrt{2}-1)x & + y=0\\ x & +(-\sqrt{2}+1)y =0 \end{matrix}\right.\)

ou seja \(v=\left ( 1-\sqrt{2},1 \right )\)

para \(\lambda =\sqrt{2}\)

\(\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1 &1 \\ 1 &\sqrt{2}+1 \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\)
\(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}-1)x & + y=0\\ x & +(\sqrt{2}+1)y =0 \end{matrix}\right.\)

ou seja \(v=\left ( 1+\sqrt{2},1 \right )\)