Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite, estou resolvendo uma questão de álgebra linear 2 e epanquei no meio do caminho.
A questão é a seguinte:
Determinar a matriz P tal que: \([T]\gamma=P{^{-1}}\cdot [T]\beta\cdot P\) , sabendo que: \(T(x,y)=(x-y,x+y)\) ; \(\beta =\left \{ (1,0),(0,1) \right \}\) e \(\gamma =\left \{ (1,-1),(1,1) \right \}\).

Eu comecei a resolver e achei assim:

Para \(\beta\):
\(T(1,0)=(1,1)=1\cdot (1,0)+1\cdot (0,1)\)
\(T(0,1)=(-1,1)=-1\cdot (1,0)+1\cdot (0,1)\)

Logo: \([T]\beta =\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&1 \end{bmatrix}\)

Agora para \(\gamma\)
\(T(1,-1)=(2,0)=1\cdot (1,-1)+1\cdot (1,1)\)
\(T(1,1)=(0,2)=-1\cdot (1,-1)+1\cdot (1,1)\)

Logo:\([T]\gamma =\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

Foi ai aonde eu empaquei, eu estou achando que: \(P^{-1}=[T]_{\beta }^{\gamma }\)
Estou certo ?

Me ajudem a resolver este problema, que aparentemente me pareceu simples mas não estou conseguindo!

Sendo S a matriz de mudança de coordenadas de \(\gamma\) para \(\beta\), esta é dada por
\(S=\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{bmatrix}\)

Isto é, \(x_{\beta}=Sx_{\gamma}\)
Então, sendo T_{\beta} o que calculaste
\(T_{\beta}x_{\beta} = y_{\beta}\)
\(T_{\beta}Sx_{\gamma} = Sy_{\gamma}\)
\(S^{-1}T_{\beta}Sx_{\gamma} = y_{\gamma}\)
\(T_{\gamma}x_{\gamma} = y_{\gamma}\)

Logo

\(T_{\gamma}=P^{-1}T_{\beta}P=\)
e vemos que
S=P

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Sim,
até aí eu consegui chegar, porém para descobrirmos P por esta maneira é muito trabalhoso, isto porque é uma matriz 2x2 se fosse em uma 3x3, 4x4, nxn, seria exponencialmente maior o trabalho realizado para encontrarmos P.

De forma análoga, poderiamos escrever que \(P\cdot \left [ t \right ]_{\gamma }=\left [ t \right ]_{\beta }\cdot P\) (multiplicando por P pela esquerda).

Porém a solução não sai por este caminho

Não parece nada trabalhoso. É exactamente igual a S, que é a matriz de mudança de base. Que tipo de solução tem?

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José Sousa
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Álvaro de Campos, 15-1-1928