Demonstração f:A⊂R→B⊂Ré crescente

[RICARDO BARBOZA]

Questão 1: Mostre que se f:A⊂R→B⊂Ré crescente, então:
a) f é injetora.
b) Se g é uma função real e crescente, então (g∘f)é crescente.
c) Se g é uma função real e decrescente, então (g∘f)é decrescente.
Questão 2: (4,0) Mostre que se f é crescente, então f– 1 é crescente.

[Rui Carpentier]

Primeiro note que por definição uma função \(f\) é (estritamente) crescente se \(a<b\Rightarrow f(a)<f(b)\)

a) Se \(f\) é estritamente crescente então é "injetora" pois para \(a\not=b\) temos que \(a<b\) ou \(b<a\) e como \(f\) é estritamente crescente temos \(f(a)<f(b)\) ou \(f(b)<f(a)\), logo \(f(a)\not=f(b)\).

b) Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b)\), e como \(g\) é crescente \(f(a)<f(b)\Rightarrow g(f(a))<g(f(b))\Leftrightarrow (g\circ f)(a)<(g\circ f)(b)\). Portanto \(g\circ f\) é crescente pois \(a<b \Rightarrow (g\circ f)(a)<(g\circ f)(b)\).

c) Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b)\), e como \(g\) é decrescente \(f(a)<f(b)\Rightarrow g(f(a))>g(f(b))\Leftrightarrow (g\circ f)(a)>(g\circ f)(b)\). Portanto \(g\circ f\) é decrescente pois \(a<b \Rightarrow (g\circ f)(a)>(g\circ f)(b)\).

2 Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b) \Rightarrow f(a)-1<f(b)-1\), logo \(f-1\)* também é uma função crescente.

* Penso que esteja a falar da função subtração da função f pela constante 1. Se o que queria escrever era a função inversa \(f^{-1}\) então a resolução é um pouco diferente: \(a<b\Leftrightarrow f(f^{-1}(a))<f(f^{-1}(b))\) pois por definição de inversa \(f(f^{-1}(x))=x\). Como \(f\) é crescente não podemos ter \(f^{-1}(a)>f^{-1}(b)\) (nesse caso \(f\) não seria crescente) logo só resta** termos \(f^{-1}(a)<f^{-1}(b)\).

** É óbvio que que também não podemos ter \(f^{-1}(a)=f^{-1}(b)\) pois nesse caso teríamos \(a=f(f^{-1}(a))=f(f^{-1}(b))=b\).

[leomjr]

gof(a)<gof(a) -acredito que houve um equivoco nessa passagem

Primeiro note que por definição uma função \(f\) é (estritamente) crescente se \(a<b\Rightarrow f(a)<f(b)\)

a) Se \(f\) é estritamente crescente então é "injetora" pois para \(a\not=b\) temos que \(a<b\) ou \(b<a\) e como \(f\) é estritamente crescente temos \(f(a)<f(b)\) ou \(f(b)<f(a)\), logo \(f(a)\not=f(b)\).

b) Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b)\), e como \(g\) é crescente \(f(a)<f(b)\Rightarrow g(f(a))<g(f(b))\Leftrightarrow (g\circ f)(a)<(g\circ f)(a)\). Portanto \(g\circ f\) é crescente pois \(a<b \Rightarrow (g\circ f)(a)<(g\circ f)(a)\).

c) Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b)\), e como \(g\) é decrescente \(f(a)<f(b)\Rightarrow g(f(a))>g(f(b))\Leftrightarrow (g\circ f)(a)>(g\circ f)(a)\). Portanto \(g\circ f\) é decrescente pois \(a<b \Rightarrow (g\circ f)(a)>(g\circ f)(a)\).

2 Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b) \Rightarrow f(a)-1<f(b)-1\), logo \(f-1\)* também é uma função crescente.

* Penso que esteja a falar da função subtração da função f pela constante 1. Se o que queria escrever era a função inversa \(f^{-1}\) então a resolução é um pouco diferente: \(a<b\Leftrightarrow f(f^{-1}(a))<f(f^{-1}(b))\) pois por definição de inversa \(f(f^{-1}(x))=x\). Como \(f\) é crescente não podemos ter \(f^{-1}(a)>f^{-1}(b)\) (nesse caso \(f\) não seria crescente) logo só resta** termos \(f^{-1}(a)<f^{-1}(b)\).

** É óbvio que que também não podemos ter \(f^{-1}(a)=f^{-1}(b)\) pois nesse caso teríamos \(a=f(f^{-1}(a))=f(f^{-1}(b))=b\).

gof(a)<gof(a) -acredito que houve um equivoco nessa passagem

[RICARDO BARBOZA]

gof(a)<gof(a) -acredito que houve um equivoco nessa passagem

Primeiro note que por definição uma função \(f\) é (estritamente) crescente se \(a<b\Rightarrow f(a)<f(b)\)

a) Se \(f\) é estritamente crescente então é "injetora" pois para \(a\not=b\) temos que \(a<b\) ou \(b<a\) e como \(f\) é estritamente crescente temos \(f(a)<f(b)\) ou \(f(b)<f(a)\), logo \(f(a)\not=f(b)\).

b) Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b)\), e como \(g\) é crescente \(f(a)<f(b)\Rightarrow g(f(a))<g(f(b))\Leftrightarrow (g\circ f)(a)<(g\circ f)(b)\). Portanto \(g\circ f\) é crescente pois \(a<b \Rightarrow (g\circ f)(a)<(g\circ f)(b)\).

c) Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b)\), e como \(g\) é decrescente \(f(a)<f(b)\Rightarrow g(f(a))>g(f(b))\Leftrightarrow (g\circ f)(a)>(g\circ f)(b)\). Portanto \(g\circ f\) é decrescente pois \(a<b \Rightarrow (g\circ f)(a)>(g\circ f)(b)\).

2 Como \(f\) é crescente, \(a<b \Rightarrow f(a)<f(b) \Rightarrow f(a)-1<f(b)-1\), logo \(f-1\)* também é uma função crescente.

* Penso que esteja a falar da função subtração da função f pela constante 1. Se o que queria escrever era a função inversa \(f^{-1}\) então a resolução é um pouco diferente: \(a<b\Leftrightarrow f(f^{-1}(a))<f(f^{-1}(b))\) pois por definição de inversa \(f(f^{-1}(x))=x\). Como \(f\) é crescente não podemos ter \(f^{-1}(a)>f^{-1}(b)\) (nesse caso \(f\) não seria crescente) logo só resta** termos \(f^{-1}(a)<f^{-1}(b)\).

** É óbvio que que também não podemos ter \(f^{-1}(a)=f^{-1}(b)\) pois nesse caso teríamos \(a=f(f^{-1}(a))=f(f^{-1}(b))=b\).

gof(a)<gof(a) -acredito que houve um equivoco nessa passagem

[Rui Carpentier]

gof(a)<gof(a) -acredito que houve um equivoco nessa passagem

Correto, já editei corretamente a mensagem

[carlos]

obrigado estava com muitas duvidas agora clareou