Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

A diagonal BC de um quadrado ABCD esta contida na reta

r : X = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1), t ∈ IR.

Sabendo que A = (1, 1, 0), determine os outros tres vértices.

Bom dia,

vamos partir do principio que se enganou no enunciado. Não...não há solução para ele! Temos pena!

Diagonal BC de um quadrado ABCD, ora vamos cá ver...não...não existe, uma aresta ainda pode ser mas uma diagonal não, essa diagonal teria que ser AC ou BD.

Bem se começamos a desenhar um quadrado por ABDC ou mesmo BACD ainda escapa, não escapa num quadrado ABCD, estamos mal!

A equação da reta também me parece muito confusa, o "R:" faz parte? Só conheço uma equação de uma reta e é\(Y = mX + b\).

Ainda aceitava a equação \(x = (1,0,0)t + (1,0,0)\) mas já não sei se se refere a um quadrado ou a um cubo ( procuramos os outros 3 vértices ou 7 vértices ?? ).

Sem querer ofender a suscetibilidade de alguém, pediria mais pormenor no enunciado.

Até.

Como tanto o vértice A como os dois vértices sobre a recta têm a primeira coordenada igual a 1, vemos que tudo se passa no plano x = 1. Desenhando então o quadrado num referencial yz, vemos que:
1. O ponto A ocupa a posição (1,0)
2. O vértice oposto a A, pode ser obtido por reflexão na recta y=z, sendo o ponto (0,1)
3. Os restantes vértices são obviamente (0,0) e (1,1)

Voltando ao espaço tridimensional, as coordenadas dos vértices são

(1,1,0); (1,0,0); (1,1,1); (1,0,1)

Bom dia,

o "R:" faz parte da equação?

a equação x=(1,0,0) + t(0,1,1) é uma equação? Ou x=(1,0,0) é um ponto e t(0,1,1) é outro ?

Há erros no enunciado ou não?

Qual o enunciado correto ?

Não há erros no enunciado (ignorando a questão da ordem dos vértices, já que se percebe o que é pretendido).

O "R: " não faz parte da equação. Ele significa simplesmente que escolhemos chamar R ao conjunto dos pontos X do espaço que se podem escrever na forma

\(X = (1,0,0) + t (0,1,1), \quad t\in \mathbb{R}\)

Isto é, conforme vamos dando valores a \(t\) vamos obtendo os pontos da recta.

Bom dia,

poderia-me mostrar, então os passos para sabermos se o ponto A=(1,1,0) pertence à reta \(X = (1,0,0) + t(0,1,1)\) ? Já que penso que a reta dá-nos o ponto oposto a A (vértice)?

Também não apanhei aquilo que escreveu : "Como tanto o vértice A como os dois vértices sobre a recta têm a primeira coordenada igual a 1"

- o ponto A ( vértice ) é dado e pertence ao plano ortogonal dos eixos XY, não?
- "os dois vértices sobre a reta têm a primeira coordenada igual a 1", a que dois vértices se refere ? Como os calculou ?

Obrigado!

Curioso este exercício!!!

Concebi este diagrama com base nos seus cálculos.

O ponto (1,0,0) não pertence à reta (como agora sei ), mas como acha o(s) valores para se traçar um outro(s), isto é, qual a amplitude da reta.

Se a reta é uma diagonal, só pode passar pelo ponto oposto a (1,0,0), ou seja, (1,1,1), não? Como faz os procedimentos matemáticos para tal?

Obrigado!

Os pontos da recta são da forma já referida:

1. quando t=0 obtém o ponto (1,0,0)
2. quando t = 1 obtém o ponto (1,1,1)
3. quando 0<t<1 obtém todos os pontos na diagonal entre os anteriores
4. quando t>1 ou t< 0 obtém todos os pontos da recta no prolongamento da diagonal para fora do quadrado.

Bom dia,

tenho uma outra perpetiva, uma vez que a reta se representa por Y = mX + b, então a perpendicular representa-se por Y = - mX + b

Transpondo para a diagonal X = (1,0,0) + t(0,1,1), temos que o m = (0,1,1), então mudamos o sinal do plano que em queremos atuar, neste caso o plano Y ( a(X,Y,Z) ), teremos que X = (1,1,0) + t(0,-1,1) e partimos do ponto A que é o que interseta o plano Y, tal como intersetaria o ponto b no eixo Y.

Seguimos os procedimentos do seguinte modo :


E temos todos os ângulos de uma vez.

E assim todos compreenderão...

( salvo erro paranoico nas equações do autor )

Errata :

Onde se lê "E temos todos os ângulos de.." devesse ler "E temos todos os vértices de..."

Obrigado!