Fórum de Matemática
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Encontre as equações dos planos que são perpendiculares à reta r (imagem anexa) e que distam 1 do ponto P = (0,1,0).

Alguém pode me dar uma luz de como resolver? Já pesquisei e li o livro e não entendi...

Tomando as equações da recta, sabe que,

\(y= 2x-3, \qquad z = -\frac 72 x + \frac 72,\)

pelo que os pontos da recta serão da forma \((t, 2t-3, -\frac 72 t +\frac 72), t \in \mathbb{R}\), ou seja, da forma

\((0,-3,\frac 72) + t (1,2,-\frac 72), \quad t \in \mathbb{R}\)

Os planos perpendiculares a r serão perpendiculares ao vector \((1,2,-\frac 72)\) pelo que terão equação

\(x + 2y -\frac 72 z + d = 0\)

Resta determinar quais os valores de d para os quais a distância ao ponto (0,1,0) é igual a 1. Como a distancia entre o ponto e a recta é medida segundo uma recta perpendicular ao plano que passe no ponto, o ponto do plano mais próximo de (0,1,0) será da forma \((0,1,0) + t (1,2,-\frac 72)\) e satisfaz a eq. do plano, pelo que

\(t + 2(1+2t) - \frac 72( -\frac 72 t) + 4 = {0} \Leftrightarrow 69 t + 4d + 8 = {0} \Leftrightarro t = -\frac{4d+8}{69}\)

Por outro lado, para a distancia ser igual a 1 devemos ter

\(\frac{(4d+8)^2}{69^2} (1^2+2^2+(-\frac 72)^2) = 1\)

pelo que \(d = \frac 12 (-4 \pm \sqrt{69})\). Cada um destes dois valores de d dá então origem a um plano.