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Respondendo a "c) Determine a equação paramétrica da reta S..."

A projeção ortogonal de um ponto B(x,y) sobre um plano tem o sentido contrario ao de marcação de um ponto sobre os eixos OXOY, só que se em vez do valor se originar no eixo OX ou OY, origina-se da sua posição em sentido ao eixo OX ou OY, o mesmo acontece no espaço.

Logo, o P2(2,2,-2) fica com as coordenadas (2,0,-3), pois o eixo ( espaço ) que é anulado é o OY ( y = 0 ). Chamemos-lhe P'2(2,0,-3) ou S2.

Precisamos de mais um ponto e esse pode ser o P1(1,0,-1) que já foi encontrado, chamemos-lhe S1.

Também podemos partir da projeção ortogonal do vetor diretor da reta R, isto é, r = (1,2,-2) e a sua projeção dá o vetor Vs =(1,0,-2), novamente Y=0.

Confirmamos S1S2 = ( 1,0,-1 ) . ( 2,0,-3 ) = (2-1, 0-0, -3-(-) ) = (1,0,-2), são o vetor diretor da reta S igual ao vetor s= (2,0,-2).

Cálculos :

Pegamos em quaisquer pontos da reta R projetados ortogonalmente no plano Pi, tais como o S1=(1,0,-2) e num ponto P(x,y,z) que queremos encontrar contido na reta S.

S1P = (x,y,z) . ( 1,0,-1) = ( x - 1, y - 0 , z - (- 1) )

S1P = t * Vs

( x - 1, y , z + 1 ) = t * ( 1,0 , -2 )


x - 1 = 1*t
y = 0
z + 1 = -2*t

equações paramétricas ( t pertence aos inteiros ):

x = 1 + t
y = 0
z = -1 - 2t

Para confirmar com a imagem anterior :

t = 0 temos o ponto (1,0,-1 )
t = 1 temos o ponto (2,0,-3 )
t = -1 temos o ponto (0,0,1)

Até.