Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Enunciado na imagem

Alguém pode me dar uma luz de como resolver? Já pesquisei e li o livro e não entendi...

A resposta " a) Verifique " pode ser auxiliada com esta imagem.

Os pontos da reta foram calculados a partir de x = 1 para o ponto P1 e x = 2 para o ponto P2.

A partir destes pontos já podemos o vetor diretor da reta R.

O vetor diretor do plano é tirado diretamente da equação do plano : X - Z + 1 = 0 ,ou seja, V = (1,0,-1), repare que o plano tem o valor de Y = 0, esta horizontal.

Ambos os vetores tem direções diferentes ( o da reta e o do plano ), portanto não são paralelos...são transversais.

Falta determinar o ponto de interceção da reta com o plano, matematicamente, claro, pois se olharmos para a imagem, é logico que já sabemos que ele lá esta.

Até.

Ainda referente a "a) Verifique..." :

Matematicamente utilizamos o produto escalar de dois vetores livres, isto é, de P1P2 e Q1Q2 para saber se os vetores são ou não paralelos.

K( é o escalar) = P1P2 . Q1Q2 = (1, 2, -2 ) . ( 1, 0, -1 ) = 1*1 + 2*0 + (-2)*(-1) = 1 + 0 + 2 = 3, portanto o escalar K = 3.

Como sabemos que o valor deste escalar corresponde a dois vetores transversais ou paralelos ?

Calculando o valor do angulo feito pelos dois vetores, isto é :

K = | P1P2 | . | Q1Q2 | . COS( alfa ), com

| P1P2 | = \(sqrt( 1^2 + 2^2 + 2^2 )\) e

| Q1Q2 | = \(sqrt( 1^2 + 0^2 + (-1)^2 )\).

Então 3 = 3 * \(sqrt( 2 )\) * COS( alfa ) , ou seja, COS( alfa ) = 1 / \(sqrt( 2 )\) = \(sqrt( 2 ) / 2\)

Temos portanto alfa = ArcCOS ( \(sqrt( 2 ) / 2\) = 45º , isto é, a reta faz um angulo de 45º com o plano, logo não é paralela, é transversal.

Até.

O resto de "a) Verifique..."

Para sabermos onde a reta R interceta o plano Pi, só temos que fazer a intersecção das duas equações disponíveis :

equação da reta

\(X + 1 = - Y / 2\) = \(- Y / 2 = ( Z + 1 ) / 2\)

isto é :

\(X = ( Y + 2 ) / 2\)
\(Y = - Z - 1\)
\(Z = -2*X + 1\)

com a equação do plano

X - Z + 1 = 0 ou 1X +0Y- Z + 1 = 0 porque lhe falta Y = 0

isto é : \(Y = 0\) e \(X = Z - 1\)

Resolvendo esta interseção de equações temos :

Y =0, X = 1, Z = -1 que nos dá um ponto P1 = ( 1, 0, -1) que é exatamente o ponto P1 que existente no plano horizontal mostrado na figura dos eixo XYZ.

Até.

Apenas um comentário, o ângulo determinado foi o formado entre a recta e uma direcção perpendicular ao plano. Como neste caso esse ângulo é de 45º, ele coincide com o valor do ângulo formado entre a recta e o plano.

Não...não!

O angulo determinado é o angulo formado entre os dois vetores diretores, o da reta e o do plano.

Utiliza-se a formula K (escalar) = (vetordiretorReta . vetordiretorPlano ) para determinar o escalar de dois vetores.

E a formula K = |vetordiretorReta|*|vetordiretorPlano| * cos (alfa) para determinar o angulo.

Quando te referistes à "perpendicular" ao plano...para calculares esse angulo ( chamamos-lhe beta ) deves fazer beta = 90º - alfa,
ou beta (radianos)= Pi/2 - alfa( radianos), esta bem?

Sabes fazer o produto escalar entre dois vetores ?

Dicas :

v = (a1,b1,c1)
u =(a2,b2,c2)

K =(a1,b1,c1,).(a2,b2,c2) = a1*a2 + b1*b2 + c1*c2

Sabes calcular a grandeza de um vetor ?

Dica :

|vetordiretor| = sqrt ( a1^2 + b1^2 + c1^2 )

Ainda falta responder a c) ... mais tarde!

Até.

O vector director do plano é perpendicular ao plano, por isso, quando calculamos o ângulo \(\alpha\) formado entre os vectores directores do plano e da recta, não estamos a calcular o angulo formado entre o plano e a recta, que é realmente \(\beta = 90-\alpha\). No entanto, neste exemplo, \(\alpha = \beta\), o que nos pode confundir reletivamente ao que seria necessário calcular num caso mais geral.

A verde temos a projeção ortogonal da reta R sobre o plano P, ou seja a reta Si, como se fosse uma sombra, tudo igual excepto que esta pertence ao plano Pi ( o plano Pi contém a reta s ).

Vamos, então, calcular!

Sobolev, foi engano meu a avaliar o vetor tirado diretamente da equação do plano. O seu comentário esta correto.


Pelo que a resposta ao seu comentário é :

Sim ...sim!

O angulo determinado é o angulo formado entre os dois vetores diretores, o da reta e o da perpendicular ao plano.

Utiliza-se a formula K (escalar) = (vetordiretorReta . vetordiretorPlano ) para determinar o escalar de dois vetores.

E a formula K = |vetordiretorReta|*|vetordiretordaperpendicularPlano| * cos (alfa) para determinar o angulo.

O angulo beta = 90º - alfa ou beta (radianos)= Pi/2 - alfa( radianos).

E sim...eles são ambos 45º, neste caso.

Novamente, tem razão no seu comentário.

Até.