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Fixado um referencial ortonormado no espaço determina uma equação Cartesiana do plano alfa que passa no ponto A(1, 3, -1) e é perpendicular à reta de equações definida por:


a) x=-4 ^ y=5 b) x= 21 ^ z=-10 c) x=-1 ^ z=0


(Pagina 147 livro Matematica Expoente 11)

Desde já Obrigado.

Vejamos a alínea a)

Os pontos da recta de equação \(x=-4 \wedge y=5\) são da forma \((-4,5, t) = (-4,5,0) + t (0,0,1)\). Vemos assim que (0,0,1) é um vector director da recta.

Assim, o plano de equação

\(0 \times x + 0 \times y + 1 \times z =D \Leftrightarrow z=D\)

é perpendicular à recta. Resta determinar D de modo que o ponto (1,3,-1) pertença ao plano, o que é conseguido tomando D = -1.

Finalmente a equação do plano pedida é simplesmente \(z=-1\).

Ola muitissimo obrigado.....
Mas como surge o vector (0,0,1)

Obrigado

Os pontos da recta têm x=-4, y=5 e z pode ser qualquer, então os seus pontos são da forma

\((-4, 5, t), \quad t \in \mathbb{R}\)

isto é, conforme vamos dando valores a t vamos obtendo os pontos da recta. Agora, o vector \((-4,5,t)\) pode-se escrever como \((-4,5,0) + t (0,0,1)\), se fizer a soma vê que obtém (-4,5,t). Em geral deve sempre escrever-se o vector (que depende de um parametro t) como soma de um vector constante com umoutro vector multiplicado por t. Desse modo vemos que se trata de uma recta com a direcção do vector (0,0,1) que passa no ponto (-4,5,0), ponto esse que obtém quando t=0.

Por exemplo, se a equação (paramétrica) da recta fosse \((1+3t,-t,1+2t)\) poderia escrever na forma \((1,0,1) + +t(3,-1,2)\) concluindo tratar-se de uma recta com a direcção do vector (3,-1,2) que passa pelo ponto (1,0,1).