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4) Considere o ponto P = (4, 6) e a reta r : x + y - 1 = 0. Determine a projeção ortogonal P’, de P,
sobre a reta r.



Figura em anexo.
Desde já agradeço.

Sejam as retas:

\(r: y = -x + 1\) , cujo coeficiente angular é \(-1\).

\(s: y = ax + b\), cujo coeficiente angular é \(a\).

\(r\) e \(s\) devem ser perpendiculares, então o produto de seus coeficientes angulares é \(-1\), então \(a = 1\) e

\(s: y = x + b\) , como \(P\) está sobre \(s\) então \(6 = 4 + b\), o que dá \(b = 2\) e

\(s: y = x + 2\).

Agora é só partir para o abraço, isto é, iguale as expressões de \(r\) e \(s\) e você obtém o \(x\) de \(P'\). Depois substitua esse \(x\) em uma das equações e você terá o \(y\) de \(P'\).

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Fraol
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Você tem a reta \(r: x+y-1=0 \Rightarrow y=-x+1\), onde \(P'(x,y)\) está. Vamos traçar uma reta \(s\) ortogonal aos pontos \(P(4,6)\) e \(P'(x,y)\). Você agora tem a reta \(s: \ \alpha(x-4)=(y-6) \Rightarrow y=x+2\) perpendicular a reta \(r\) cujo o coeficiente angular \(\alpha\) é o inverso do oposto do coeficiente angular da reta \(r\). O coeficiente da reta \(r=-1\) então o da reta \(s=1\).

O ponto P' nada mais é do que o ponto de encontro de \(r\)e\(s\) agora é só igualar as enquações das retas e encontrar o ponto de intersecção P'.