Olá,
Ariana, temos duas equações de parábola possíveis com base no enunciado que você postou, veja:
Com base de que as coordenadas do vértice (V) das parábolas fazem parte da equação da reta mencionada, sabemos, então, que o valor da coordenada x=x, e y=2x. Assim, temos algebricamente as coordenadas do vértice: V(x,2x).
Temos, também, dois pares de coordenadas, que fazem parte do gráfico: P(2,0) e Q(5,6).
Temos, ainda, algo que determina que tipo de equação usar. O enunciado diz que o eixo da parábola é paralelo ao eixo das abcissas, então temos:
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
Com base nisso tudo, vamos lá!
Vamos isolar a variável "c":
V(x,2x)
P(2,0)
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 0-2x \right )^2=4c(2-x)\)
\(c=\frac{x^2}{(2-x)}\)
V(x,2x)
P(5,6)
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 6-2x \right )^2=4c(5-x)\)
\(c=\frac{(6-2x)^2}{4(5-x)}\)
Igualando as equações:
\(\frac{x^2}{(2-x)}=\frac{(6-2x)^2}{4(5-x)}\)
\(\frac{4x^2}{(2-x)}=\frac{(6-2x)^2}{(5-x)}\)
\(\frac{(5-x)}{(2-x)}=\left ( \frac{6-2x}{-2x}\right )^2\)
\(\frac{(5-x)}{(2-x)}=\left ( \frac{3-x}{-x}\right )^2\)
\(\frac{(5-x)}{(2-x)}=\left ( \frac{x^2-6x+9}{x^2}\right )^2\)
\(5x^2-x^3=2x^2-12x+18-x^3+6x^2-9x\)
\(5x^2-x^3-2x^2+12x-18+x^3-6x^2+9x=0\)
\(-3x^2+21x-18=0\)
Usando a fórmula resolutiva de 2º grau, temos:
x'=6
x''=1
Se temos x=6, então y=12;
Se temos x=1, então y=2.
Com V(6,12) e P(2,0), temos c=-9:
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 0-12 \right )^2=4c(2-6)\)
Resolvendo, c=-9.
Com V(1,2) e P(2,0), temos c=1:
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 0-2 \right )^2=4c(2-1)\)
Resolvendo, c=1.
Então, baseando-se nos vértices obtidos e as distâncias focais por meio deles, temos duas equações:
Com V(6,12) e c=-9:
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( y-12 \right )^2=-36(x-6)\)
Com V(1,2) e c=1:
\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( y-2 \right )^2=4(x-1)\)
Por gentileza, dê uma olhada nos gráficos gerados por meio das equações obtidas.
Vai ver que além da reta que passa pelo vértice nas duas parábolas, os pontos P e Q fazem, também, parte do gráfico.
É isso aí!
| Anexos: |
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