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MensagemEnviado: 19 jun 2017, 04:44 
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Determinar uma equação da parábola com vértice na reta y= 2x, eixo paralelo a OX e cujos pontos P(2, 0) e Q(5, 6) pertencem ao gráfico da mesma.


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MensagemEnviado: 23 jun 2017, 05:27 
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Olá,

Ariana, temos duas equações de parábola possíveis com base no enunciado que você postou, veja:

Com base de que as coordenadas do vértice (V) das parábolas fazem parte da equação da reta mencionada, sabemos, então, que o valor da coordenada x=x, e y=2x. Assim, temos algebricamente as coordenadas do vértice: V(x,2x).

Temos, também, dois pares de coordenadas, que fazem parte do gráfico: P(2,0) e Q(5,6).

Temos, ainda, algo que determina que tipo de equação usar. O enunciado diz que o eixo da parábola é paralelo ao eixo das abcissas, então temos:

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)

Com base nisso tudo, vamos lá!

Vamos isolar a variável "c":

V(x,2x)
P(2,0)

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 0-2x \right )^2=4c(2-x)\)
\(c=\frac{x^2}{(2-x)}\)

V(x,2x)
P(5,6)

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 6-2x \right )^2=4c(5-x)\)
\(c=\frac{(6-2x)^2}{4(5-x)}\)

Igualando as equações:

\(\frac{x^2}{(2-x)}=\frac{(6-2x)^2}{4(5-x)}\)

\(\frac{4x^2}{(2-x)}=\frac{(6-2x)^2}{(5-x)}\)

\(\frac{(5-x)}{(2-x)}=\left ( \frac{6-2x}{-2x}\right )^2\)

\(\frac{(5-x)}{(2-x)}=\left ( \frac{3-x}{-x}\right )^2\)

\(\frac{(5-x)}{(2-x)}=\left ( \frac{x^2-6x+9}{x^2}\right )^2\)

\(5x^2-x^3=2x^2-12x+18-x^3+6x^2-9x\)

\(5x^2-x^3-2x^2+12x-18+x^3-6x^2+9x=0\)

\(-3x^2+21x-18=0\)

Usando a fórmula resolutiva de 2º grau, temos:

x'=6
x''=1

Se temos x=6, então y=12;
Se temos x=1, então y=2.

Com V(6,12) e P(2,0), temos c=-9:

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 0-12 \right )^2=4c(2-6)\)
Resolvendo, c=-9.

Com V(1,2) e P(2,0), temos c=1:

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( 0-2 \right )^2=4c(2-1)\)
Resolvendo, c=1.

Então, baseando-se nos vértices obtidos e as distâncias focais por meio deles, temos duas equações:

Com V(6,12) e c=-9:

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( y-12 \right )^2=-36(x-6)\)

Com V(1,2) e c=1:

\(\left ( y-k \right )^2=4c(x-h)\)
\(\left ( y-2 \right )^2=4(x-1)\)

Por gentileza, dê uma olhada nos gráficos gerados por meio das equações obtidas.

Vai ver que além da reta que passa pelo vértice nas duas parábolas, os pontos P e Q fazem, também, parte do gráfico.

É isso aí!


Anexos:
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