amadeu Escreveu:
... Por isso, gostaria, se possível, havendo disponibilidade da sua parte, que me esclarecesse algumas dúvidas sobre o problema, as quais seguem enunciadas abaixo.
1) \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{1}{2}|\vec{MP}\times \vec{MQ}|\)
Pela expressão acima conclui-se que a área do triângulo\(\;(MPQ)=\frac{b\times h}{2}\;\) em que\(\;\vec{MP}=b\;\) e \(\;\vec{MQ}=h\)
Correcto, mas é melhor não usar a letra b para identificar \(\vec{MP}\) porque já existe o vetor \(\vec{b}\).
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2) Seja\(\;\lambda =\frac{|\vec{MP}|}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}\;\) Nesta linha do seu texto gostaria que me explicasse o que aconteceu à expressão\(\;\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\;\) que está no numerador a multiplicar por\(\;|\vec{MP}|\)
Deixei de fora. Repare que temos \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{1}{2}|\left(\frac{|\vec{MP}|\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}\right)\times \vec{MQ}|=\frac{\frac{|\vec{MP}|}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|=\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|\)
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3) \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{b}|}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{|\vec{b}|}+\frac{1}{|\vec{a}|}\right||\vec{a}\times\vec{b}|\). Aqui gostaria que me explicasse como desta 1ª expressão \(\;\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|\;\)passou para esta 2ª\(\;=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{b}|}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|\;\) Como fez essa multplicação de \(\;(\vec{a}-\vec{b})\times\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\;\) para chegar à 2ª citada anteriormente.
Usando as propriedades do produto vetorial que é uma operação bilinear (
i.e. \((\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2)\times (\gamma\vec{w}_1+\delta\vec{w}_2)=\alpha\gamma\vec{v}_1\times \vec{w}_1+\alpha\delta\vec{v}_1\times \vec{w}_2+\beta\gamma\vec{v}_2\times \vec{w}_1+\beta\delta\vec{v}_2\times \vec{w}_2\)) e anti-simétrica (
i.e. \(\vec{v}\times \vec{w}=-\vec{w}\times \vec{v}\) o que implica que \(\vec{v}\times \vec{v}=\vec{0}\)). Sendo assim,
\((\vec{a}-\vec{b})\times\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)=\frac{1}{||\vec{a}||}\vec{a}\times \vec{a}+\frac{1}{||\vec{b}||}\vec{a}\times \vec{b}-\frac{1}{||\vec{a}||}\vec{b}\times \vec{a}-\frac{1}{||\vec{b}||}\vec{b}\times \vec{b}=\vec{0}+\frac{1}{||\vec{b}||}\vec{a}\times \vec{b}+\frac{1}{||\vec{a}||}\vec{a}\times \vec{b}+\vec{0}=\left(\frac{1}{||\vec{b}||}+\frac{1}{||\vec{a}||}\right)\vec{a}\times \vec{b}\)
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4) São nos dados que \(|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{41}\), \(|\vec{a}|=7\) e \(|\vec{b}|=3\), logo \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda 10\sqrt{41}}{42}\;\). Aqui como encontrou o valor \(\;42\;\) que surge no denominador ?
\(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{||\vec{b}||}+\frac{1}{||\vec{a}||}\right||\vec{a}\times\vec{b}|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right|\sqrt{41}=\frac{\lambda}{2}\frac{10}{21}\sqrt{41}=\frac{\lambda 10\sqrt{41}}{42}\)
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5) e sabemos que \(\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|=\sqrt{\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\cdot\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\;\).Aqui, no 3º passo como fez para encontrar \(\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\;\) considerando o radicando anterior ?
Usando a bilinearidade do produto interno mais a simetria:
\({\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)\cdot\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}|||}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}}{||\vec{a}||^2}+\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}+\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{||\vec{b}||||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}\cdot\vec{b}}{||\vec{b}||^2}=1+2\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}+1=2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\)
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\(\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\;\) Aqui o valor \(\,21\,\) creio que surgiu do produto das normas de \(\,|\vec{a}|.|\vec{b}|=|7|.|3|=21\)
Correcto.
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6) A propósito de normas ? A expressão a seguir enunciada \(\,|\vec{a}|\,\) é a norma de um vector ? Isto é, o seu comprimento em unidades relativamente ao vector unitário ?
Ou é o módulo ou valor absoluto de um vector ? Pergunto isto porque tanto quanto sei a norma de um vector costuma ser representada por \(||\vec{a}||\). Ou aquela expressão é efectivamente a norma e colocam apenas uma barra de cada lado por comodidade de escrita ?
Sim é a norma. Usei apenas uma barra por comodidade e porque o enunciado também só usava uma barra. Vou editar para não haver mais confusões.
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logo \(\sin(\theta)=\frac{\sqrt{41}}{21}\) e portanto \(\cos(\theta)=-\frac{20}{21}\) (note-se que nos é dito que o ângulo é obtuso).
Aqui usou a fórmula fundamental de trigonometria, para a partir do \(\,sin\theta\,\) chegar a \(\,cos\theta\).
Sim.
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7) Fazendo os cálculos chegamos a \(\lambda=42\) e portanto \(\mbox{area}(MPQ)=10\sqrt{41}\).
Pergunto: como se fazem os cálculos para achar lambda ? Em que dado ponto específico existente no desenvolvimento de todo o problema se encontra a fórmula concreta para achar lambda ?
Quase no início, \(\lambda =\frac{||\vec{MP}||}{\left\|\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right|}=\frac{2\sqrt{42}}{\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}}\), como \(\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||||\vec{b}||\cos\theta =-20\), temos \(\lambda =\frac{2\sqrt{42}}{\sqrt{2-\frac{40}{21}}}=\frac{2\sqrt{42}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{21}}}=2\sqrt{21^2}=42\)
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E como \(\,\lambda=42\,\) e a \(\,Area_{\triangle}{MPQ}\mbox{(como referiu acima)}=\frac{\lambda10\sqrt{41}}{42}\)
E temos então: \(\frac{42.10\sqrt{41}}{42}\,\rightarrow\,\frac{\cancel {42}.10\sqrt{41}}{\cancel {42}}\,\rightarrow\,Area_{\triangle}{MPQ}=10\sqrt{41}\)
Sim.
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8) Por último, uma pergunta final:
Não existe uma forma mais fácil, mais directa, mais objectiva, de resolver este problema ?
Sinceramente não sei.
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Grato
Amadeu
Não tem de quê.