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Qual seria a melhor resposta pra essa questão ?
A melhor resposta não sei (é algo subjetivo). Mas uma resposta possível é a seguinte.
O limite \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe se e só se existe um valor real \(L\in\mathbb{R}\) (valor do limite) tal que para qualquer \(\varepsilon >0\) existe um \(\delta >0\) tal que \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\). Isto implica que para qualquer \(\varepsilon >0\) existe uma vizinhança aberta de \(a\), \(V_\delta (a)=]a-\delta,a+\delta [\) tal que
(1) \(x,y\in V_\delta (a) \Rightarrow |f(x)-f(y)|<2\varepsilon\) (pois \(|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-L|+|L-f(y)|\)).
Mas como qualquer intervalo aberto contem números racionais e números irracionais não pode uma vizinhança aberta de \(a\) para a qual é satisfeita a condição (1) caso \(\varepsilon <1/2\) (haverá sempre \(x,y\in V_\delta (a)\) tal que \(f(x)=1\) e \(f(y)=0\) que impede que \(|f(x)-f(y)|<2\varepsilon<1\)).
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