Fórum de Matemática
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Boa noite!

Estou com o seguinte problema:

"Se a sequência de funções \(f_n:X\rightarrow \mathbb{R}\) é tal que \(f_1 \ge f_2 \ge...\ge f_n \ge...\) e \(f_n\rightarrow 0\) uniformemente em X, prove que a série \(\sum (-1)^nf_n(x)\) converge uniformemente em \(X\)".

Pelo Critério de Leibniz, como \(f_n(x)\) é uma sequência não-crescente e \(f_n\rightarrow 0\), então \(\sum (-1)^nf_n(x)\) necessariamente converge para um número real \(g \in \mathbb{R}\)

. A pergunta é: converge uniformemente? Ou seja, é possível afirmar que, dado \(\varepsilon>0\), existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) ( que não depende de \(x\) nem de \(\varepsilon\)) tal que \(n>n_0\Rightarrow\)
\(|\sum_{i\ge n}^{\infty}(-1)^if_i(x)|<\varepsilon\)? O fato de que \(f_n(x)\) converge uniformemente para zero, apenas me diz que dado \(\varepsilon>0\), existe \(n_0\in \mathbb{N}\) tal que \(n>n_0\Rightarrow |f_n(x)|<\varepsilon\), para qualquer \(x \in X\).

Uma nota prévia: o \(n_0\) não depende de \(x\) mas depende de \(\varepsilon\).

Quanto à questão, observe que se \(f_1\geq f_2\geq \dots \geq f_n\geq\dots\) então para qualquer \(n\) temos
\(\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i f_{n+i}=(f_n-f_{n+1})+(f_{n+2}-f_{n+3})+\dots \geq 0\) e
\(\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i f_{n+i}=f_n-(f_{n+1}-f_{n+2})-(f_{n+3}-f_{n+4})-\dots \leq f_n\)
logo, \(\left|\sum_{i\ge n}^{\infty}(-1)^if_i(x)\right|\leq f_n(x)\)

Depois disto é fácil ver que é uniformemente convergente.