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Galera alguém tem ideia de como resolver essa equação?



Sendo que c= 0,703125 e θ em radianos, pertencente ao primeiro quadrante.
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To ligado que θ = 0 satisfaz a equação, mas como faço para descobrir o outro valor, que era o que o problema original queria.

No problema original ele quer descobrir qual ângulo θ em que o sistema entra em equilíbrio com a mola.


Não consegui encontrar um caminho ainda para concluir, no livro ele diz que foi por tentativa e erro, mas deve haver um método para solucionar. O melhor que consegui fazer foi aplicar Séries de Taylor para obter a igualdade
Trunquei o valor de n começando de 0 até 3 e obtive essa igualdade:

sen(θ) ≈ θ - (θ³/3!) + (θ⁵/5!) - (θ⁷/7!)

Depois igualei isso na equação do problema original:

θ - (θ³/3!) + (θ⁵/5!) - (θ⁷/7!) = θ*c

tirei todos os mínimos, e cheguei nessa equação:

5985θ - 3360θ³ + 168θ⁵ - 4θ⁷ = 0

Como uma das raízes é θ=0 então as outras raízes serão encontradas por esse polinômiozinho aqui:

5985 - 3360θ² + 168θ⁴ - 4θ⁶ = 0

Ainda não consegui solucionar o polinômio mas as raízes são:
θ'= 1,402 rad
θ''= -1,402 rad

Se alguém sabe outro caminho, ou conseguir tirar as raízes agradeço.

O mais simples é utilizar um método numérico para a resolução da equação. Se utilizar por exemplo o método do ponto fixo, poderá verificar que a sucessão

\(\theta_0 = 1
\theta_{n+1} = \frac{\sin \theta_n}{c}\)

Deste modo, a solução pode ser calculada com a precisão que desejar, bastando para isso calcular mais termos desta sucessão. O erro cometido ao aproximar a solução da equação por \(\theta_n\) é majorado por

\(|\theta - \theta_n| \leq (0.76843)^n\)

Este processo é melhor que a utilização da fórmula de Taylor porque a escolha do grau máximo a utilizar limita à partida o nível de precisão da resposta, independentemente de todos os outros cálculos serem feitos de forma exacta.

Ainda não estudei essa disciplina, desconhecia tal método, mas estou dando uma estudada superficial para entender melhor. Realmente, por Taylor, iria ter um erro um pouco grosseiro.
Obrigado pela resposta.

Só para deixar a solução para quem se interessar e não tiver entendido:

Depois da dica do amigo Sobolev, utilizei outro método de calculo numérico. Utilizei o Método Newton-Raphson, que consiste em utilizar retas tangentes à um ponto p.


As raízes da função sistema serão quando f(x) = 0.

Conhecendo f(x), e esta sendo diferenciável,e conhecendo a equação da reta tangente no ponto p.

f(p) + f'(p)*(x-p) = 0

f'(p)*(x-p) = - f(p)

Dividindo ambos os lados por f'(p):

(x-p) = - f(p)/f'(p)

Somando p em ambos os lados:

x = p - f(p)/f'(p)


Sendo
f(x) = sen(x) - x*k
f'(x) = cos(x) - k


Escolheremos então um p próximo da raiz, farei então p = 1 já que a raiz está entre 1 e 1,5.


x1 = 1 - (sen(1) - 1*k)/(cos(1)-k)
x1 = 1.84967261809

aplicamos o valor obtido novamente na equação, fazendo p=x1.

x2 = 1.84967261809 - (sen(1.84967261809) - 1.84967261809*k)/(cos(1.84967261809) - k)

x2 = 1.50299896534

Aplicando mais algumas vezes obtemos:
x3= 1.40999391497
x4= 1.40206992166
x5= 1.40201204332
x6= 1.40201204023
x7= 1.40201204023

Por conta da precisão da minha calculadora, não é possível deixar a raiz mais precisa.

Portanto a raiz aproximada de f(x) = sen(x) - x*k é 1.40201204023.