Fórum de Matemática
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Mostre que a função f : I -> R, derivável no intervalo I, satisfaz a condição

\(\left | f(x)-f(y) \right |\leq c\left | x-y \right |\), para qualquer \(x, y \in I\) quaisquer se, e somente se,

\(\left | f'(x) \right |\leq c\) para todo \(x\in I\).

É a mesma:
\(\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq c \Rightarrow |f'(x)|\leq c\)

Prova por contradição.
Suponha por absurdo:
\(\exists y:|f'(x)|=d>c (d=c+m)\)
em seguida,
\(\lim_{x\rightarrow y}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=d\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:|x-y|<\delta \Rightarrow \left|\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|-d\right|<\varepsilon\)
\(d-\varepsilon <\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|<d+\varepsilon\)

Vamos escolher \(\varepsilon =\frac{m}{2}\Rightarrow \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>d-\frac{m}{2}=c+\frac{m}{2}>c\)