Derivada da função inversa f(x) = x³ + 5x - 6

[Sagan]

Já tentei fazer a inversa e depois derivar mas não consigo o resultado esperado:

Seja f(x) = x³ + 5x - 6 e g a função inversa de f.
a) Calcule g'(x) e g''(x) (em função de x e de g(x));
b) Calcule g''(0).

[Rui Carpentier]

Sugestão: Se g é inversa de f então \(f(g(x))=x\). Derivando* ambos os lados da equação ficamos com uma equação donde se pode tirar a expressão de g'(x). Voltando a derivar obtem-se outra equação que permite encontrar a expressão de g''(x).

* Use a regra da derivação de funções compostas: [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x).

Spoiler:

\(g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}=\frac{1}{3g(x)^2+5}\), \(g''(x)=-\frac{f''(g(x)(g'(x))^2}{f'(g(x))}=-\frac{6g(x)}{(3g(x)^2+5)^3}\) e \(g''(0)=-\frac{6g(0)}{(3g(0)^2+5)^3}=-\frac{6}{8^3}\)