estudar acontinuidade funcao por ramos duas palavras

[miguel.silva]

Estudar a continuidade da função definida por: (anexo)

Preciso só de dizer que é contínua em R^2 porque:
-> Quando x ≥ y é contínua porque f(x)= x é uma função contínua
-> Quando x < y é contínua porque f(x)= y é uma função contínua

Está certo? Obrigado

Anexos

Captura de ecrã 2016-03-23, às 17.38.17.png (12.74 KiB) Visualizado 1483 vezes

[Sobolev]

Não... O seu raciocínio é válido para y>x e para y < x, mas ainda tem que esclarecer o que se passa sobre a recta y = x. Neste caso, realmente, a função também acaba por ser contínua sobre a recta y = x, mas a justificação que fornece não é válida. Tem que mostrar que
\(\lim_{(x,y) \to (a , a)}\,\,\,\, f(x,y) = a.\)

[miguel.silva]

O que corresponde ao primeiro ramo em que x=y, logo fica

\(\lim x = a\)
\((x,y)\rightarrow (a,a)\)

O limite existe logo em x=y também é contínua.

Está certo? obrigado

[Sobolev]

Não Miguel, não está certo... (x,y) pode estar a tender para (a,a) por pontos que não pertencem ao ramo que refere. Tem realmente que atender à definição de limite para funções de várias variáveis. Neste caso pode usar o seguinte resultado: Se o domínio da função puder ser decomposto num número finito de conjuntos \(B_1, \cdots, B_k\) de tal modo que \(x_0\) pertence à aderência de todos esses conjuntos então

\(\lim_{x \to x_0} f(x) =b \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0 \\ x \in B_1} f(x) = \lim_{x \to x_0 \\ x \in B_2} f(x) = \cdots \lim_{x \to x_0 \\ x \in B_k} f(x) = b\). Nest caso pode usar os conjuntos \(B_1= \{(x,y): x \ne y \}, \quad B_2 = \{(x,y): x=y}\).