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Seja a função F(X) = sen (x) - Ln (x) + 2 e um valor inicial x0 igual a 1,5. Adotando um erro de 0,1, qual será a aproximação para o zero da função via Newton-Raphson, adotando 5 casas decimais?

Muito obrigado a quem puder ajudar.

O método de Newton consiste, este caso, na construção da sucessão

\(x_0=1.5
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)

Se calcular algumas iterações verá que esta sucessão vai convergir para uma raiz de f próxima de 6:

\(x_0 = 1.5
x_1 = 5.84956
x_2 = 6.10283
x_3 = 6.08836
x_4 = 6.08833
x_5 = 6.08833\)

Repare que entre a quarta e a quinta iteração já não há alteração em nenhuma das cinco primeiras casas decimais. De facto, por aplicação elementar do teorema de Lagrange, pode verificar que sendo z a tal raiz, se tem

\(|z - x_5| \leq \frac{f(x_5)}{\min_{x \in [x_5,z]} |f'(x)|} \leq \frac{f(x_5)}{f(6)}\approx 10^{-18} \approx 0\)