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Olá, recentemente enquanto jogava um joguinho da internet chamado ikariam me deparei com o seguinte problema:

O crescimento populacional da minha cidade é definido por
Cp=0,02(S-P)
sendo Cp o crescimento populacional em habitantes/hora
S= o nível de satisfação da cidade, que varia conforme minhas ações, para esse problema considere uma constante.
P= a população atual da cidade.

Gostaria de saber qual seria a função da população no tempo.
é facil notar que não é simplesmente multiplicar o Cp pelo tempo, por que ele vai variar no decorrer do tempo
Por exemplo, se o crescimento populacional agora é 4 hab/hora, daqui a 1 hora a população vai ter aumentado aproximadamente 4, por tanto, o Cp vai ser menor.
Então a função da população, pelo pouco que sei de integral seria a ∫Cpdt, no entanto, n sei resolver isso, por que o Cp está em função de P, e P seria essa integral, entrando num loop.

Alguem poderia me ajudar a definir essa função?
Mostrar como resolver essa integral, ou onde eu errei nessa análise?
Obrigado

A única coisa que lhe falta é relacionar \(C_p\) com \(P\). Uma forma óbvia é admitir que \(C_p(t)\) corresponde exactament à derivada \(P'(t)\). o problema é portanto determinar uma função \(P(t)\) que verifique \(P'(t)=0.02(S - P(t))\).

A solução desta equação diferencial é \(P(t)= S + k e^{-0.02 t}\), em que a constante k é calculada de modo a satisfazer uma determinada condição inicial. Por exemplo, se a população no instante t =0 for 1000, teremos que \(S+ k e^{-0.02\times 0}=1000\), pelo que k = 1000 - S e a solução será dada por \(P(t)=S + (1000-S)e^{-0.02 t}\).