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agradecia se possível a resolução deste exercício:

SEJA,

G(x)=f(x)\(e^{2x}\)


a) mostre que verifique as condições do teorema de role no intervalo (a, b);
b) Calcule g`(x) e mostre que existe um ponto c pertencente )a,b( tal que f`(c)=-2 f(c)
`

Se f for continua em [a,b] e diferenciável em (a,b), como \(e^{2x}\) é continua e diferenciável em (a,b). Então pelo teorema de Rolle existe um ponto c pertencente a (a,b) tal que:
\(G'(c)=0\)

Derivando G temos:
\(G'(x)=f'(x)e^{2x}+2f(x)e^{2x}
G'(c)=f'(c)\cdot e^{2c}+2f(c)\cdot e^{2c}=0\Rightarrow f'(c)\cdot e^{2c}=-2f(c)\cdot e^{2c}\Rightarrow f'(c)=-2f(c)\)

E quanto à condição \(G(a)=G(b)\)? Sem essa condição não podemos garantir a existência de um zero de G'... Faltará alguma coisa no enunciado?