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Achar o Ponto da reta tangente a curva https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=13193 |
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Autor: | Gabriela Amaral [ 28 set 2017, 04:45 ] |
Título da Pergunta: | Achar o Ponto da reta tangente a curva |
A reta tangente à curva y = -x⁴ + 2x² + x no ponto ( 1 , 2 ) é também tangente à curva em outro ponto. Fazendo o passo a passo, ache este ponto. GABARITO: ( -1 , 0 ) |
Autor: | Estanislau [ 28 set 2017, 09:25 ] |
Título da Pergunta: | Re: Achar o Ponto da reta tangente a curva |
Não dá para compreender o que é que quer. Gostou do enunciado e quis partilhá-lo? Ou tem dúvidas? Então, quais? |
Autor: | Baltuilhe [ 28 set 2017, 18:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Achar o Ponto da reta tangente a curva [resolvida] |
Gabriela Amaral Escreveu: A reta tangente à curva y = -x⁴ + 2x² + x no ponto ( 1 , 2 ) é também tangente à curva em outro ponto. Fazendo o passo a passo, ache este ponto. GABARITO: ( -1 , 0 ) Boa tarde, Gabriela! Vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto (1,2): Derivando a função original: \(y{=}-x^4+2x^2+x y'{=}-4x^3+4x+1 y'{=}f'(x){=}f'(1){=}-4(1)^3+4(1)+1{=}-4+4+1{=}1\) Agora que temos a inclinação da reta tangente, podemos calcular a equação da mesma: \(y-y_0{=}m(x-x_0) y-2{=}1(x-1) y{=}x-1+2 \fbox{y=x+1}\) De acordo com o enunciado existe outro ponto ao qual esta mesma equação é tangente à curva. Podemos, então, procurar outro ponto no qual a derivada valha 1 (mesma inclinação) e verificar se a reta é ou não tangente neste ponto. \(f'(x){=}-4x^3+4x+1{=}1 -4x(x^2-1){=}0 x{=}0 x{=}1 x{=}-1\) Estes são, portanto, os 3 pontos com mesmo coeficiente angular (1). Vamos tentar identificar por qual destes pontos a reta 'tangencia' também além do x=1, que foi o ponto dado pelo enunciado: \(x{=}0 f(x){=}-x^4+2x^2+x f(0){=}-0^4+2(0)^2+0{=}0\) Verificando a equação da reta tangente: \(y{=}x+1 y{=}0+1{=}1\) Ou seja, no ponto x=0 a reta y=x+1 não toca a equação. Outro ponto x=-1: \(x{=}-1 f(x){=}-x^4+2x^2+x f(-1){=}-(-1)^4+2(-1)^2+(-1){=}-1+2-1=0\) Verificando a equação da reta tangente: \(y{=}x+1 y{=}-1+1{=}0\) Ou seja, no ponto x=-1 tanto a reta tangente quanto a equação possuem ordenadas iguais a zero. Como a inclinação é a mesma este é um ponto de tangência. Portanto, ponto (-1,0) é a resposta! Espero ter ajudado! |
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