Fórum de Matemática
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Olá pessoal,

estou um pouco perdido nesta pergunta pois não sei como fazer esta demonstração

Como provo que

\(\frac{1}{3}<\log(1.5)<\frac{1}{2}\)

Muito obrigado pela ajuda

Olá, interessante...

podemos tentar desenvolver a série de Taylor da função \(log(x)\) em torno do ponto 1

A série de Taylor refere

\(\sum_{n=0} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}=f(a)+\sum_{n=1} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}\)

ora sendo \(f(x)=log(x)\)

\(f^{(1)}=\frac{1}{x} \\ f^{(2)}=-\frac{1}{x^2}\\ f^{(3)}=\frac{2}{x^3}\\ f^{(4)}=-\frac{3\times 2}{x^4}\\ f^{(5)}=\frac{4\times 3 \times 2}{x^5}\\ ...\\ ...\\ f^{(n)}=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\)

fazendo \(a=1\)

ficamos com

\(log(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}\\ \\ \\ x=1.5 \\ \\ log(1.5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n2^n}\\ \\ \\ separando\ em \ pares \ e \ impares \\ \\ log(1.5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)4^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n4^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{(2n-1)(2n)4^n}\)

não sei se é o caminho certo mas espero ter ajudado, por certo há forma mais fácil...

humm, talvez através de uma função de \(\R^2\) tipo \(f(x,y)=log(x+y)\) e vemos em torno do ponto \((1;0.5)\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Tem ai um erro.. é entre 1/3 e que?

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Já vi, 1/3 e 1/2... mas que matéria é? Séries de Taylor?

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Era o que estava no assunto entre 1/3 e 1/2

Abraços

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João Pimentel Ferreira
 
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epah, acho que compliquei

\(\frac{1}{3}<\log(1,5)<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}<\log\left(\frac{3}{2}\right)<\frac{1}{2}\\ \sqrt[3]{e}<\frac{3}{2}<\sqrt{e}\)


agora separa-se em duas

\(\sqrt[3]{e}<\frac{3}{2}\\ e<\frac{27}{8}\\ \\ e<\frac{24+3}{8}\\ \\ e<3+\frac{3}{8}\)

e também

\(\frac{3}{2}<\sqrt{e}\\ \frac{9}{4}<e\\ \\ 2,25<e\)

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João Pimentel Ferreira
 
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