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 Título da Pergunta: (x+1)^(2012) = x^(2012)+1
MensagemEnviado: 06 fev 2012, 17:51 
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How can i find Real Roots of \((x+1)^{2012} = x^{2012}+1\)


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 Título da Pergunta: Re: (x+1)^(2012) = x^(2012)+1
MensagemEnviado: 07 fev 2012, 18:08 
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Just a hint:

Remember the binomial theorem

\({\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!\)

So:

\({\left(x+1\right)}^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}{2012 \choose k}x^{2012-k}\times1^k\,\!\)

\({\left(x+1\right)}^{2012}=\sum_{k=1}^{2011}{2012 \choose k}x^{2012-k}+x^{2012}+1\)

So, you just have to solve

\(\sum_{k=1}^{2011}{2012 \choose k}x^{2012-k}=0\)

\(2012x^{2011}+2023066x^{2010}+...+2012x=0\)

It is a polynomial of degree 2011 (odd number). It should have (I suppose) several roots

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: (x+1)^(2012) = x^(2012)+1
MensagemEnviado: 08 fev 2012, 10:19 
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\(x=0\) is a evident solution...

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 Título da Pergunta: Re: (x+1)^(2012) = x^(2012)+1
MensagemEnviado: 08 fev 2012, 10:29 
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A simpler way out

\(x^{2012}\) is a curve (some how similar to parabola) with a minimum at \(x=0\)

\(x^{2012}+1\) is exactly the same curve but topped up 1 unit on y axis

\((x+1)^{2012}\) is exactly the same curve but shifted left 1 unit on x axis...

So I suppose they only "touch" each other in one point at \(x=0\)

Take care

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: (x+1)^(2012) = x^(2012)+1
MensagemEnviado: 08 fev 2012, 22:26 
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taking the derivatives of both sides

\(\frac{d}{dx}((x+1)^{2012})=2012(x+1)^{2011}\)
and
\(\frac{d}{dx}(x^{2012}+1)=2012.x^{2011}\)

function 1 is monotonous from \(]-\infty, -1[\) and from \(]-1, \infty\)
function 2 is monotonous from \(]-\infty, 0[\) and from \(]0, \infty\)

they both take the value 1 at x=0. !!1st solution, as Joao wrote!!

at the right of x=0, function 1 grows much faster than function 2 : \(x+1>x\),
immediatly at the left of x=0, function 2 has a negative derivative (thus is decreasing), while function 1 grows from x=-1 to x=0.
There there is no solution. However, at x=-1, func1 = 0, func 2 = 2

but, as x tends to be more negative, func2 has always a more negative derivative than func 1, so the zero at x=0 is unique.

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José Sousa
se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928


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