Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde,

Antes de mais peço desculpa, caso não seja este o sitio apropriado para colocar este tipo de dúvida.

Em relação ao principio da indução matemática, temos que:
1.Prove a base da indução.
2.Suponha P(k)
3.Prove P(k+1)

Estou um bocado confuso com a resolução deste exercício que coloco em anexo.
Tenho que substituir a e b por 2 números diferentes, por exemplo 1 e 2?


Porque depois de provar a igualdade, terei que mostrar que dado um numero inteiro n>= 1, qualquer, 7^n - 3^n é um número natural divisível por 4.

Obrigado.
Ricardo

«Tenho que substituir a e b por 2 números diferentes, por exemplo 1 e 2?»

Não, deixa as variáveis \(a\) e \(b\) como estão (até porque são reais e não naturais). Tens é que mostrar (por indução) que a fórmula
\(\frac{b^n-a^n}{b-a}=\sum_{i=0}^{n-1}b^ia^{n-i-1}\) é verdadeira para todos o natural \(n\in \mathbb{N}\).
Ou seja, tens que ver que é verdade para \(n=1\), supor que é verdade para \(n=k\) e provar que é verdade para \(n=k+1\).

Uma sugestão para a prova da fórmula para \(n=k+1\):

\(b^{k+1}-a^{k+1}=b^{k+1}-a^kb+a^kb- a^{k+1}=(b^k-a^k)b+a^k(b-a)\)

Boas
Precisava que alguém me ajudasse a confirmar ou não esta dúvida que tenho:

Se o binómio de Newton é igual a \((x+y)^n =\sum_{k=0}^{n}x^ky^{n-k}\)

Será que posso dizer que \(\sum_{i=0}^{n-1}b^ia^{n-i-1} = (a+b)^{n-1}\) ??

Obrigado
Cardoso

Boa tarde,

O Teorema de Newton não é: \((x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}(^n_k)x^ky^{n-k}\) ?

Acho que falta a parte do \((^n_k)\), o que inviabiliza, julgo, a proposta.