Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal, estou com uma dúvida sobre assimptota numa expressão irracional.

Já tentei resolver de várias formas mas não consegui. Já pesquisei mas também não encontrei nada que me ajudasse.

A dúvida é a seguinte:
"Indique as assimptotas da expressão: ' 1 + √(4x² + 3) ' "

Ora, sei que a raiz nunca é negativa, portanto a assimptota não será vertical/horizontal. A função será parabólica e, para existir, a assimptota terá que ser oblíqua.
Mas não sei como chegar ao resultado nem como o calcular.

Posso verificar que, de facto, existe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1+ ... asymptotes

Mas, repito, não sei como lá chegar.
Muito obrigado desde já.

Como o domínio da função em causa é toda a recta real, não existem assimptotas verticais. Agora, se uma recta de equação y = mx +b for assimptota não vertical devemos ter

\(m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+\sqrt{4x^2+3}}{x} =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{x} =\pm 2\)

e as respectivas ordenadas na origem serão

\(b_{+} = \lim_{x\to +\infty} (1+\sqrt{4x^2+3} - 2x)=\mathrm{1}\)

\(b_{-} = \lim_{x\to -\infty} (1+\sqrt{4x^2+3} + 2x)=\mathrm{1}\)

Deste modo vemos que a recta y = -2x+1 é assimptota obliqua em \(-\infty\) enquanto que a recta y=2x-1 é assimptota obliqua em \(+\infty\).