Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Achar o \(Dom(F)\) e a \(Im(F)\)da função \(F(x) = \frac{1}{(x^2 - 1)^{0,5}}\). Injetora ou Subjetora?

Primeiramente

O que você quis expressar foi isso:

\(F(x)=\frac{1}{(x^2-1)^{0,5}}\)

Gostaria de saber onde seria sua dúvida, se é conceitual ou não.

Por exemplo, para resolver essa questão basta saber o conceito de sobrejetora e injetora.

A função é sobrejetora se a sua imagem for igual ao seu contradomínio.

A cada elemento do conjunto A corresponde um elemento distinto do conjunto B. De modo geral, uma função f : A B é injetora se, e somente se, para todo y B existe um único x A, tal que y = f(x).

Qualquer coisa, volte a perguntar

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"O que sabemos é uma gota, o que não sabemos é um oceano." - Isaac Newton

\(Dom(F) = ]- \infty,1[ \cup ]1 , +\infty[\)
Senão ficaríamos com a raíz de um número negativo ou zero no denominador
\(Im(F) = R^+\)
Nunca é zero porque é 1 a dividir por outro número, e nunca é negativo porque o denominador é sempre positivo.

Não é injectiva porque x = -3 e x=3 têm a mesma imagem. É sobrejetora.

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Pq é sobrejetora?

Injetora não é porque x = -3 e x=3 têm a mesma imagem.
a negativa, se houver, deve apenas conter um contraexemplo e a positiva deve ser justificada
Sobrejetora ,como justificar?

Desculpe, ser ou não ser sobrejetora depende do contradomínio considerado.

Para ser sobrejetora a imagem tem de coincidir com o contradomínio.
Mas aqui não é claro se o contradomínio é o conjunto de todos os números reais ou se é só \(R^+\)

Por defeito diria que é o conjunto de todos os números reais, e aí não seria sobrejetora.
Peço desculpa pea confusão, mas tinha respondido pouco antes a uma pergunta de outra pessoa.

Assim, \(Im(f) \neq R\), o que implica que não é sobrejetora.

Mas para responder corretamente falta alguma informação (\(f: D(f) \to R\) ou \(f: D(f) \to R^+\))

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José Sousa
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Álvaro de Campos, 15-1-1928

Para perceber melhor, veja as últimas informações no artigo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Contradom%C3%ADnio

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José Sousa
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Álvaro de Campos, 15-1-1928

Considere a função dada pela fórmula f(x)=1/(x²-1)^0,5. Ache o Dom(f) e Im(f).
OBS: Quando não é explicitado, subentende-se que o Dom(F)seja o maior subconjunto de R que torna a fórmula (expressão algébrica) de F bem definida.
Considerando o Dom(f) e Im(f) encontrado na questão 1 acima, responda (justifican-
do):
(a) f é injetora?
(b) f é sobrejetora?
(c) É possível fazer alguma restrição sobre Dom(f) e Im(f) para o qual f admite inversa? Se sim, quais são as possíveis inversas de f?
Exercício completo

Continua a não ser explícita, ma assumo que o contradomínio é R. Neste caso, não é sobrejetiva.

Seja \(f:A \to B\)

Se A for só o conjunto \(]1 +\infty[\) e B \(R^+\) existe inversa.

Isto é, dado um elemento de B, conseguimos encontrar um elemento de A único.

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José Sousa
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