Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia, estou aqui novamente a solicitar ajuda para obter o subconjuntos da função \(f(x) = \frac{ln [sen (x)]}{x^2}\), para:

a) \(\left \{ x \in \mathbb{R} / f(x) > 0 { \right \}\)
b) \(\left \{ x \in \mathbb{R} / f(x) < 0 { \right \}\)
c) \(\left \{ x \in \mathbb{R} / f(x) = 0 { \right \}\)

Temos
\(f(x) = \frac{ln(sen(x))}{x^2}\)

Em primeiro lugar a função só faz sentido quando sen(x)>0. (Domínio da função)
a)
O termo no denominador é sempre positivo (0 não pertence ao domínio da função porque ln(sen(0)) não está definido).
Logo, estudar f(x)>0 equivale a estudar quando ln(sen(x))>0.
\(ln(sen(x))>0\Leftrightarrow sen(x)>1\)
Ora isto nunca acontece para x real. Logo é um conjunto vazio.

b)
Da mesma forma
\(ln(sen(x))<0\Leftrightarrow sen(x)<1\)
Ora isto é válido para todos os pontos do domínio excepto quando sen(x)=1, ou seja, todos os pontos do domíno excepto \(\pi/2+2k\pi\)

c)
Aqui temos os pontos \(\pi/2+2k\pi\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Para f(x) = 0
Ln (z), para z entre 0 e 1 , a imagem é negativa
Ln (1) = 0
Ln(z), para z> 1, a imagem é positiva

Sen(x) = 1

Seno de quem é 1?

Pi/2 + 2PI.n, n pert Z

Logo: f(x) = 0
Para: S = {x pert R | x = Pi/2 + 2PI.n, n pert Z}

Para f(x) > 0 : S = { }

Porque é vazio?
Por definição (Olhe no gráfico do ln(z) que vc fez) z está sempre entre -1 e 0 ou 0 e 1
pela definição de ln(z) e considerando z = senx, a solução será vazia.
f(x) > 0 : S = { }


Para f(x) < 0

S = Domíno - {x pert R | x = Pi/2 + 2PI.n, n pert Z} (obtido no item anterior)


S = {x pert R | x pert R| 0 + 2PI .n < x < PI/2+ 2PI .n ou PI/2 + 2PI .n < x < PI+ 2PI .n, n pert Z }