Marcella Escreveu:
Boa tarde,
Seja f : I -> R, definida num intervalo do qual a é ponto interior. Mostre que se f é derivável no ponto a, então
\(lim_{h\rightarrow \0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=f'(a)\)
\(\lim_{h \to 0} \; \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\)
\(\lim_{h \to 0} \; \frac{f(a+h)-f(a)-f(a-h)+f(a)}{2h}\)
\(\lim_{h \to 0} \; \frac{f(a+h)-f(a)}{2h}-\lim_{ h \to 0}\; \frac{f(a-h)-f(a)}{2h}\)
Fazendo uma substituição no segundo limite : u=a-h , h->0,u->a :
\(\frac{f^{\prime}(a)}{2}-\frac{1}{2}\lim_{ u \to a}\; \frac{f(u)-f(a)}{a-u}\)
\(\frac{f^{\prime}(a)}{2}-\frac{1}{2} \left(-\lim_{ u \to a}\; \frac{f(u)-f(a)}{u-a} \right)\)
\(\frac{f^{\prime}(a)}{2}+\frac{1}{2}\lim_{ u \to a}\; \frac{f(u)-f(a)}{u-a}\)
\(\frac{f^{\prime}(a)}{2}+\frac{f^{\prime}(a)}{2}=f^{\prime}(a)\)
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