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Seja f : [0, 1] → R uma função tal que f([0, x]) é um intervalo para todo o x ∈ [0, 1]. Então f é contínua
em 0.
Esta questão supostamente é falsa, mas eu não consigo perceber porquê, agradecia uma explicação.
Obrigado.

Olá,

Para mostrar que uma afirmação desse tipo é falsa basta encontrar um contra-exemplo. Neste caso pode-se considerar a função \(f:[0,1]\to [0,1]\) definida por \(f(x)=\sin^2\left(\frac{1}{x}\right)\) se \(x\not= 0\) (sendo f(0) um valor qualquer em [0,1]). Fica como exercício provar que f([0,x])=[0,1] qualquer que seja o x>0 e que f não é contínua em 0.

Bem, sen(1/x) não é contínua em zero, pois 1/0 não está definido, quanto a f([0;x])=[0;1] (para f(0) um valor qualquer em [0;1]) só tenho de referir que irá sempre existir um \(\delta\) > 0 tal que a f(x) continua a passar por todos os pontos em [-1;1], é isto?

No entanto, eu ainda estou um pouco confuso e talvez seja por causa da notação...quando é referido f([0;x]) é a mesma coisa que o intervalo [f(0);f(x)] (?) mas f(0) não existe, não é?

Obrigado!

Boas,
Na resposta anterior esqueci-me de elevar o seno ao quadrado de modo que o contra-domínio seja [0,1] (já editei a correção). Repare que no intervalo ]0,x] a função 1/t toma todos os valores em \(\left]\frac{1}{x},+\infty \right[\) e portanto \(f(t)=\sin^2\left(\frac{1}{t}\right)\) toma todos os valores em [0,1] (uma vez que seno ao quadrado é periódica e [0,1] é o se contradomínio), ou seja, f(]0,x])=[0,1] *. O facto de juntarmos o 0 não vai alterar o contradomínio uma vez que \(f([0,x])=\{f(0)}\cup f(]0,x])=[0,1]\) uma vez que \(f(0)\in [0,1]\).

*Por notação f(A) é a imagem de A pela função f, ou seja, \(f(A)=\{f(a):a\in A\}\).