Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boas,

Eu fiz o exercício mas tenho dúvidas que seja só isto. Eu calculei o produto interno entre as duas funções e o resultado é zero, logo o ângulo é sempre pi/2. Com isto mostramos que o ângulo não depende de t.


Gostaria que me esclarecessem se o meu raciocínio está correto.

Obrigado.

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AR.

Boa tarde!

Na verdade, independentemente do valor que encontrasse no produto interno, sendo este valor uma constante, você conseguiria ter provado que o ângulo entre os vetores r(t) e r'(t) independem do parâmetro t. Sendo o produto interno igual a zero, o ângulo é \(\frac {\pi}{2}\), mesmo.

\(r(t)=\frac{2t}{1+t^2}\vec{e_1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}\vec{e_2}+\vec{e_3}
r'(t)=\frac{(2t)'.(1+t^2)-(2t).(1+t^2)'}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{(1-t^2)'.(1+t^2)-(1-t^2).(1+t^2)'}{(1+t^2)^2}\vec{e_2}+0.\vec{e_3}
r'(t)=\frac{2.(1+t^2)-(2t).(2t)}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{(-2t).(1+t^2)-(1-t^2).(2t)}{(1+t^2)^2}\vec{e_2}
r'(t)=\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{-4t}{(1+t^2)^2}\vec{e_2}\)

Fazendo o produto interno entre r(t) e r'(t) obtemos:
\(r(t).r'(t)=
\left ( \frac{2t}{1+t^2}\vec{e_1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}\vec{e_2}+\vec{e_3} \right ). \left (\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{-4t}{(1+t^2)^2}\vec{e_2} \right )=
\frac{2t}{1+t^2} \times \frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} \times \frac{-4t}{(1+t^2)^2} + 1 \times 0=
\frac{4t-4t^3}{(1+t^2)^3}+\frac{-4t+4t^3}{(1+t^2)^3}+0=
0\)

Seu raciocínio está certo, sim!

Espero ter ajudado! Abraços!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles