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Ângulo entre dois vetores (funções vetoriais). https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=7923 |
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Autor: | MRocha [ 03 fev 2015, 21:01 ] |
Título da Pergunta: | Ângulo entre dois vetores (funções vetoriais). |
Boas, Eu fiz o exercício mas tenho dúvidas que seja só isto. Eu calculei o produto interno entre as duas funções e o resultado é zero, logo o ângulo é sempre pi/2. Com isto mostramos que o ângulo não depende de t. Anexo: Sem Título.jpg [ 12.62 KiB | Visualizado 1402 vezes ] Gostaria que me esclarecessem se o meu raciocínio está correto. Obrigado. |
Autor: | Baltuilhe [ 03 fev 2015, 22:18 ] |
Título da Pergunta: | Re: Ângulo entre dois vetores (funções vetoriais). [resolvida] |
Boa tarde! Na verdade, independentemente do valor que encontrasse no produto interno, sendo este valor uma constante, você conseguiria ter provado que o ângulo entre os vetores r(t) e r'(t) independem do parâmetro t. Sendo o produto interno igual a zero, o ângulo é \(\frac {\pi}{2}\), mesmo. \(r(t)=\frac{2t}{1+t^2}\vec{e_1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}\vec{e_2}+\vec{e_3} r'(t)=\frac{(2t)'.(1+t^2)-(2t).(1+t^2)'}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{(1-t^2)'.(1+t^2)-(1-t^2).(1+t^2)'}{(1+t^2)^2}\vec{e_2}+0.\vec{e_3} r'(t)=\frac{2.(1+t^2)-(2t).(2t)}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{(-2t).(1+t^2)-(1-t^2).(2t)}{(1+t^2)^2}\vec{e_2} r'(t)=\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{-4t}{(1+t^2)^2}\vec{e_2}\) Fazendo o produto interno entre r(t) e r'(t) obtemos: \(r(t).r'(t)= \left ( \frac{2t}{1+t^2}\vec{e_1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}\vec{e_2}+\vec{e_3} \right ). \left (\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\vec{e_1}+\frac{-4t}{(1+t^2)^2}\vec{e_2} \right )= \frac{2t}{1+t^2} \times \frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} \times \frac{-4t}{(1+t^2)^2} + 1 \times 0= \frac{4t-4t^3}{(1+t^2)^3}+\frac{-4t+4t^3}{(1+t^2)^3}+0= 0\) Seu raciocínio está certo, sim! Espero ter ajudado! Abraços! |
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