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Boa tarde,

Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio \([-a,a]\) .
Sabe-se que \(f\left ( -a \right )=f\left ( a \right )\: e\: f\left ( a \right )> f\left ( 0 \right )\) .
Mostre que a condição \(f\left ( x \right )=f\left ( x+a \right )\) tem, pelo menos, uma solução em \(]-a,0[\) .

Recentemente deparei-me com uma proposta de resolução, que me causa algumas dúvidas.
A proposta começa por indicar \(f\left ( x \right )=f\left ( x+a \right )\Leftrightarrow \, f\left ( x \right )-f\left ( x+a \right )=0,\: seja\:\: g\left ( x \right )=f\left ( x \right )-f\left ( x+a \right )\)

De seguida é referido que a função g é contínua em \([-a,a]\) porque é a diferença entre duas funções contínuas e visto que \([-a,0]\subset \, [-a,a]\) , g terá de ser contínua em \([-a,0]\) .

Mas eu não percebo o porquê de g ser contínua em \([-a,a]\). Afinal temos \(g\left ( x \right )=f\left ( x \right )-f\left ( x+a \right )\) , em que \(D_{f}=[-a,a]\). Então se g(x) é constituída por duas expressões, o seu domínio deveria ser diferente de \([-a,a]\) , uma vez que este intervalo é o domínio apenas de uma das expressões, certo?

Agradecia se me pudessem ajudar, porque a partir daqui consigo perceber as restantes etapas para completar o exercício.

Na verdade o domínio da função \(g\) da forma que foi definida é o intervalo \([-a ,0]\) . Como \(f\) é contínua , logo \(f\) restrita \([-a,0]\) também é contínua .A função \(g\) é contínua . Cabe mostrar que existe \(x_0\) em \([-a,0]\) tal que \(g(x_0) g(-a) \leq 0\) .

Recomendo que faça a conta \(g(0) g(-a)\) e veja o que se obtém .