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Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:
. têm domínio [2,3]
. são funções contínuas
. \(f\left ( 2 \right )-g\left ( 2 \right )> 0\:\: e\: \: f\left ( 3 \right )-g\left ( 3 \right )< 0\)

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.
(B) A função \(f-g\) é crescente.
(C) Os gráficos de f e g não se intersetam.
(D) A função \(f-g\) é decrescente.

Para resolver este exercício, fui, em primeiro lugar, verificar a veracidade da opção A.
Para verificar se os gráficos de f e g se intersectam em pelo menos um ponto, devemos provar que \(\exists \,\, x\in\, ]2,3[\, :f\left ( x \right )=g\left ( x \right )\Rightarrow \, \exists \, \, x\in \, ]2,3[\, :f\left ( x \right )-g\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \, \exists \, \, x\in \, ]2,3[\, :\left ( f-g \right )\left ( x \right )=0\)

\(f\left ( 2 \right )-g\left ( 2 \right )> 0\Leftrightarrow \, \left ( f-g \right )\left ( x \right )> 0\) e \(f\left ( 3 \right )-g\left ( 3 \right )< 0\Leftrightarrow \, \left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< 0\: \:\, logo\: \: \, \left ( f-g \right )\left ( 2 \right )\times \left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< 0\)

O Teorema de Bolzano permite concluir que \(\left ( f-g \right )\left ( x \right )\) tem, pelo menos um zero, no intervalo ]2,3[ , ou seja, \(f\left ( x \right )-g\left ( x \right )=0\) .

Deste modo prova-se que \(\exists \,\, x\in \, ]2,3[\, :f\left ( x \right )=g\left ( x \right )\) , ou, por outras palavras, os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto. Logo, opção A é verdadeira.

Mas durante a resolução anterior, eu escrevi \(\left ( f-g \right )\left ( 2 \right )> 0\: \: e\: \: \left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< 0\) , o que me leva à questão: Porque é que a opção D não é necessariamente verdadeira?


Temos uma função decrescente quando \(f\left ( x\, _{2} \right )< f\left ( x_\, {1} \right )\) e no exercício anterior tínhamos \(\left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< \left ( f-g \right )\left ( 2 \right )\) .

Então, porque é que a função \(f-g\) não pode ser considerada decrescente?

Ficarei grata se me puderem ajudar.

Uma função \(f : \Omega \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) é crescente ( respectivamente decrescente ) quando , tomados os pontos \(x_1 > x_2\) arbitrários no domínio \(\Omega\) , tem-se \(f(x_1) > f(x_2)\) (respectivamente \(f(x_1) < f(x_2)\) ) .

[OBS.: Pode acontecer de \(x_1 > x_2\) (pontos arbitrários do domínio ) implicar \(f(x_1) \geq f(x_2)\) ; neste caso dizemos que f é não-decrescente .Analogamente pode-se definir função não-crescente ] .


Veja que o fato de \(h(2) < h(3)\) ( onde \(h := f-g\) ) não necessariamente implica que \(h\) é decrescente , podemos ter \(x , y \in [2,3]\) com \(x > y\) e \(h(x) \geq h(y)\) .