Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia,

Seja f uma função contínua, de domínio \([0,1]\) e contradomínio \([a,b]\) com \(0< a< b< 1\) .
Seja h a função de domínio \([0,1]\) definida por \(h\left ( x \right )=f\left ( x \right )-x\) .
Prove que h tem pelo menos um zero.

Agradecia imenso se alguém me pudesse ajudar.

Repare que,

\(h(0)=f(0) - 0 = f(0) \ge a >0\)

e que

\(h(1) = f(1) - 1 \leq b - 1 < 0\)

Como h é uma função contínua no intervalo [0,1] e h(0)*h(1)<0, oteorema de Bolzano garante a existência de pelo menos uma raiz de h nesse intervlao.

Boa noite, agradeço imenso por me ter respondido tão prontamente, contudo, eu não consegui acompanhar o seu raciocínio.
Não percebi como sabemos que \(f\left ( 0 \right )\geq a> 0\: \: e\: \: f\left ( 1 \right )-1\leq b-1< 0\) .
Será que me podia explicar detalhadamente o seu raciocínio?
Desculpe pelo incómodo.

É dito que o contradomínio de f está contido no intervalo [a,b], com 0<a<b<1. Então os valores de f estao todos no intervalo [a,b], que por sua vez está contido no intervalo [0,1]. Por isso

\(f(0) \ge a >0, \qquad f(1) \leq b < 1.\)

Assim, em particular, \(f(0) > 0\) e \(f(1) < 1\). O resto segue da definição da função \(h\).

Obrigada! Percebi perfeitamente a resolução.