Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém sabe resolver?

1) Sabe-se que x é o menor inteiro positivo
tal que 4200.x é o cubo de um inteiro.
Então, x vale
a) 630
b) 735
c) 2205
d) 4410

2)Se x é um número real tal que
x elevado a 1/3 + x elevado a -1/3 = 3
entao x + x elevado a -1 é igual a

a)9
b)18
c)27
d)36

Valew pessoal

1) Para que uma número natural seja o cubo de um inteiro é necessário e suficiente que na sua decomposição em produto de fatores primos estes apareçam com expoentes múltipos de três. Da decomposição \(4200={2^3} {3^1} {5^2} {7^1}\) deduzimos que que \(x=2^a3^b5^c7^d\) tal que \(3+a,1+b,2+c\) e \(1+d\) sejam múltiplos de três com \(a,b,c\) e \(d\) inteiros não-negativos tão pequenos quanto possível. Tal acontece quando \(a=0,b=2,c=1\) e \(d=2\). Portanto \(x=2^03^25^17^2=2205\).

2) \(x^{1/3}+x^{-1/3}=3\Rightarrow \left(x^{1/3}+x^{-1/3}\right)^3=27 \Leftrightarrow x+3x^{1/3}+3x^{-1/3}+x^{-1}=27\Leftrightarrow x+x^{-1}=27-3(x^{1/3}+x^{-1/3})=27-3\times 3=18\).

Muito obrigado! foi extremamente objetivo e claro!!!!!