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Dado \(X\subset \mathbb{R}\), uma função \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\) diz-se Lipschitziana quando existe \(k> 0\) (constante de Lipschitz de \(f\) ) tal que, para quaisquer \(x,y\in X\)
, tem-se \(\left | f(x)-f(y) \right |\leq k\left | x-y \right |\). Uma aplicação \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\) chama-se localmente Lipschitziana quando, para todo \(x\in X\) , existe um intervalo aberto \(I_{x}\) , contendo \(x\) , tal que a restrição \(f\left | \left_{I_{x}\cap X}\)é Lipschitziana. Mostre que toda aplicação localmente Lipschitziana definida num conjunto compacto é Lipschitziana.

Como sugestão: Use o Teorema de Borel-Lebesgue e o conceito de número de Lebesgue.
Alguém pode mim ajudar...

Um conjunto \(X\) em \(\mathbb{R}\) é compacto se e só se dada uma cobertura de abertos \(\mathcal{U}=\{U_i\}_{i\in I}\) de \(X\) existe uma subcobertura finita \(\{U_{i_1},U_{i_2},\dots ,U_{i_n}\}\subset \mathcal{U}\) de \(X\) (i.e. \(X\subset \cup_{k=1}^{n}U_{i_k}\)). Numa teoria mais geral esta é a definição de compacto, o teorema de Borel-Lebesgue garante que esta definição é equivalente à de ser fechado e limitado (nas definições usuais em de fechado e limitado \(\mathbb{R}\)).
Se \(f:X\to \mathbb{R}\) é localmente Lipschitziana então para cada \(x\in X\) existe uma vizinhança aberta \(I_x\) de \(x\) e uma constante positiva \(k_x>0\) tal que \(a,b\in X\cap I_x \Rightarrow \left | f(a)-f(b) \right |\leq k_x\left | a-b \right |\). Ora \(\mathcal{U}=\{I_x\}_{x\in X}\) forma uma cobertura aberta de \(X\), logo por compacidade de \(X\) existe uma subcobertura finita \(\{I_{x_1},I_{x_2},\dots ,I_{x_n}\}\subset \mathcal{U}\) de \(X\). Agora é só uma questão de ver que \(f\) satisfaz a condição de Lipschitz para a constante \(k=\max\{k_{x_1},k_{x_2},\dots ,k_{x_n}\}\).
Sejam \(x,y\in X\). Se \(x,y\in I_{x_k}\) para algum \(x_k\) então temos que \(\left| f(x)-f(y) \right|\leq k_{x_k}\left| x-y \right|\leq k\left| x-y \right|\). Senão, podemos considerar uma subdivisão do segmento-\(xy\): \(a_0=x,a_1,\dots ,a_m=y\) tal que \(|a_i-a_{i+1}|<\delta\) onde \(\delta\) é o número de Lebesgue da cobertura \(\{I_{x_1},I_{x_2},\dots ,I_{x_n}\}\). Por definição de número de Lebesgue, isto significa que cada subsegmento \([a_i,a_{i+1}]\) está contido nalgum aberto da cobertura. Logo temos que
\(\left|f(x)-f(y)\right|=\left|f(a_0)-f(a_1)+f(a_1)-f(a_2)+\dots+f(a_{m-1})-f(a_m)\right|\leq \left|f(a_0)-f(a_1)\right|+\left|f(a_1)-f(a_2)\right|+\dots+\left|f(a_{m-1})-f(a_m)\right|<k\left|a_0-a_1\right|+k\left|a_1-a_2\right|+\dots+k\left|a_{m-1}-a_m\right|=k |x-y|\)