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Os gráficos f(x)= x^2+ax+b e g(x)= cx- x^2 têm reta tangente em comum no ponto (1,0). Encontre a,b,c.

\(a\, ,\, b\, ,\, c\, \in \, \mathbb{R}\)

Antes de mais, vamos determinar a expressão da 1ª derivada de f e de g

\(f^{'}\left ( x \right )=\left ( x^{2}+ax+b \right )\, ^{'}=\left ( 2x+a \right )\)

\(g\: ^{'}\left ( x \right )=\left ( c\, x-x^{2} \right )\, ^{'}=-2x+c\)

Como os gráficos de f e de g têm reta tangente em comum (mesma expressão analítica), no ponto (1,0), podemos afirmar que a reta tangente a f e a reta tangente a g no ponto de abcissa x=1 têm o mesmo declive. Deste modo, temos:
\(f\, ^{'}\left ( 1 \right )=2+a\) e \(g\, ^{'}\left ( 1 \right )=-2+c\) , então \(2+a=-2+c\Leftrightarrow \, a=-4+c\)

Também sabemos que o ponto (1,0) pertence à reta tangente a f e ao próprio gráfico de f, assim como (1,0) pertence à reta tangente a g e ao próprio gráfico de g.

\(f\left ( 1 \right )=0\; \; \therefore \; \; f\left ( 1 \right )=1+a+b\Leftrightarrow\, 1+a+b=0\)

\(g\left ( 1 \right )=0\; \; \therefore \; \; g\left ( 1 \right )=c-1\Leftrightarrow \, c-1=0\)

\(\left\{\begin{matrix} c-1=0 \\ a=-4+c \\ 1+a+b=0 \end{matrix}\right.\;\Leftrightarrow \; \left\{\begin{matrix} c=1 \\ a=-4+1 \\ 1-4+1+b=0 \end{matrix}\right.\; \Leftrightarrow \; \left\{\begin{matrix} c=1 \\ a=-3 \\ b=2 \end{matrix}\right.\)