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De entre as várias definições de função contínua e conjunto fechado podemos usar estas:
1) Uma função \(f:F\to \mathbb{R}\) é contínua se para todo o \(a\in F\) e toda a sucessão \((x_n)\) em F se tem que \(x_n\to a \Rightarrow f(x_n)\to f(a)\).
2) Um conjunto \(G\subset \mathbb{R}\) é fechado se para toda a sucessão \((x_n)\) se tem que \(x_n\in G \wedge x_n\to a \Rightarrow a\in G\).
Vamos então mostrar a equivalência:
1) \(f:F\rightarrow \mathbb{R}\)é contínua implica que \(f^{-1}(G)\) é fechado, para todo fechado \(G\subset \mathbb{R}\)
Queremos mostrar que \(f^{-1}(G)\) é fechado partindo do princípio que G é fechado.
Seja \((x_n)\) uma uma sucessão arbitrária de termos em \(f^{-1}(G)\) e convergente \(x_n\to a\), então \(f(x_n)\in G\) e, por continuidade de f, \(f(x_n)\to f(a)\). Sendo \(G\) fechado isto implica que \(f(a)\in G\), logo \(a\in f^{-1}(G)\). Isto prova que \(f^{-1}(G)\) é fechado.
2) \(f^{-1}(G)\) é fechado, para todo fechado \(G\subset \mathbb{R}\) implica que \(f:F\rightarrow \mathbb{R}\)é contínua
Queremos mostrar que, para todo o \(a\in F\) e toda a sucessão \((x_n)\) em F, se \(x_n\to a\) então \(f(x_n)\to f(a)\).
Suponhamos que existia uma sucessão \((x_n)\) em F, tal que \(x_n\to a\) mas \(f(x_n)\not\to f(a)\). Se \(f(x_n)\not\to f(a)\) então existe uma subsucessão \((x_n_k)\) de \((x_n)\) tal que \(f(a)\) não é ponto aderente a \(Y=\{f(x_n_k):k\in\mathbb{N}\}\). Tomemos então o conjunto fechado \(G=\overline{Y}\), contrariamente à hipótese o conjunto \(f^{-1}(G)\) não é fechado pois contém uma sucessão \((x_n_k)\subset f^{-1}(G)\) que converge para um elemento que não pertence \(f^{-1}(G)\) (sendo \((x_n_k)\) subsucessão de \((x_n)\) temos necessariamente \(x_n_k \to a\)). Desta contradição resulta que não pode haver \(x_n\to a\) com \(f(x_n)\not\to f(a)\), logo a função tem de ser contínua.
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