Provar que função definida por ramos é analítica

[fabio_dias]

Olá. Fico agradecido se alguém me mostrar como devo proceder para resolver.
Que passos devo seguir para mostrar que uma função definida por ramos é analítica?
Obrigado!

Anexos

analiticidade.PNG (12.43 KiB) Visualizado 3316 vezes

[Rui Carpentier]

Primeiro, note que a partir do desenvolvimento em série de potências de z da função \(\cos z\) temos, para \(z\not=0\), a identidade:
\(f(z)=\frac{\cos z-1}{z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^n}{(2n+2)!}\). Esta série de potências tem raio de convergência infinito e, além disso, coincide com o valor de \(f(0)=-\frac{1}{2}\) no ponto \(z=0\). Portanto, tendo f uma decomposição em série de potências válida para todo o \(\mathbb{C}\), podemos dizer que f é analítica.

[fabio_dias]

Rui Carpentier, obrigado pela resposta. Mas não haverá outra de o fazer sem explicitar a série de potências?

[Rui Carpentier]

Rui Carpentier, obrigado pela resposta. Mas não haverá outra de o fazer sem explicitar a série de potências?

Bom, sendo uma função complexa de variável complexa, basta mostrar que é diferenciável em \(\mathbb{C}\). Para \(z\not= 0\) podemos sempre argumentar que a função é inteira pois é o quociente de duas funções inteiras não-nulas nesse domínio. O problema está no ponto \(z=0\). Podemos tentar pela definição mas calculo que as contas sejam complicadas. No entanto, também podemos observar que a função é o produto de dois funções, \(g(z)=\cos z -1\), que é uma função holomorfa com um zero de ordem 2 em \(z=0\) (pois \(g(0)=g'(0)=0\not= g''(0)\)) e \(h(z)=\frac{1}{z^2}\), que é uma função meromorfa com um polo de ordem 2. Logo \(\frac{\cos z -1}{z^2}\) tem um singularidade removível em \(z=0\). Tudo o que resta é ver que o valor de f(0) coincide com o limite de f(z) quando z tende para 0 (use a regra de L'Hospital).

PS- Estou um pouco enferrujado na análise complexa pelo que não estou 100% seguro que o meu argumento seja válido.