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MensagemEnviado: 19 dez 2014, 03:47 
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Sendo , mostre que a função :





é analítica no domínio de definição indicado e que aí. Diga então, porque a função composta é função analítica de no domínio.




OBS: Só queria saber como provar que é analítica no domínio , o restante já conseguir.Agradeço desde já.


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MensagemEnviado: 19 dez 2014, 11:56 
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Bom dia,

Já fez o mais difícil! Para a última parte basta ver que, para Re(z) > 1, os números complexos 2z + i -2 não ficam sobre a parte negativa do eixo imaginário. De facto, para que 2z + i - 2 fique sobre a parte negativa do eixo imaginário é necessário que z esteja sobre a recta vertical que passa em Re(z)=1, mais concretamente com Im(z) <= -1/2.

Portanto, apesar de a função ser analítica num conjunto maior, é analítica no conjunto indicado (x >1).


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MensagemEnviado: 19 dez 2014, 20:42 
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Sobolev Escreveu:
Bom dia,

Já fez o mais difícil! Para a última parte basta ver que, para Re(z) > 1, os números complexos 2z + i -2 não ficam sobre a parte negativa do eixo imaginário. De facto, para que 2z + i - 2 fique sobre a parte negativa do eixo imaginário é necessário que z esteja sobre a recta vertical que passa em Re(z)=1, mais concretamente com Im(z) <= -1/2.

Portanto, apesar de a função ser analítica num conjunto maior, é analítica no conjunto indicado (x >1).




Sobolev , vc poderia me explicar o porque de Re(z)>0 quando x>1, implicar que é analítica?


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MensagemEnviado: 20 dez 2014, 12:15 
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O ramo da função logaritmo que está a ser considerado é diferenciável (ou analítico, ou holomorfo) em todo o plano complexo, à excepção da parte negativa do eixo imaginário. Por outro lado, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Assim, para garantir a diferenciabilidade da função composta, basta exigir que 2z + i -2 pertença ao domínio de diferenciabilidade do Logaritmo. Ora, 2z + i -2 pertence à parte negativa do eixo imaginário se z estiver sobre a semi-recta vertical definida por Re(z)=1, Im(z)<=-1/2.

Em rigor, a função composta será diferenciável em todo o plano complexo à excepção desta última semi-recta. O domínio proposto, Re(z)>1 está contido no domínio de diferenciabilidade.


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