Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

y'(t) - y(t) = t² - 2t + 1, sendo y(1)=2


Tentei fazer de todo jeito mas não consegui, agradeço quem puder ajudar, att.


Resposta:

y = 2e^(t-1) - (t-1)² - 2(t -1)

De facto a resposta que fornece no final não está correcta... A não ser que se tenha engano no enunciado. A resposta seria correcta se a equação diferencial fosse \(y'-y = t^2-2t-1\). Pensando que o enunciado está ok, a resposta seria

\(y'(t)=y(t)+t^2-2t+1 \Rightarrow y'(1)=y(1)+1-2+1 = y(1)=2
y''(t)=y'(t)+2t-2 \Rightarrow y''(1)= y'(1)+2-2 = y'(1)=2
y'''(t) = y''(t)+2 \Rightarrow y'''(1) = y''(1)+2 = 4
y''''(t) = y'''(t) \Rightarrow y''''(1) = y'''(1)=4
\cdots\)

usando a série de Taylor,

\(y(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{(n)}(1)}{n!} (t-1)^n = 2 + 2(t-1) + \frac{2 (t-1)^2}{2} + 4 \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{(t-1)^n}{n!} = 2 + 2(t-1) + (t-1)^2 + 4\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(t-1)^n}{n!} \right)- 4 -4(t-1)-2(t-1)^2=
= -2 -2(t-1)-(t-1)^2 + 4 e^{t-1}\)